劉維爾數

超越數的存在是由法國數學家劉維爾（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早證明的。關於超越數的存在，劉維爾寫出了下面這樣一個常數：a=0.110001000000000000000001000…，該常數是一個無限小數，劉維爾證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程，由此證明了它不是一個代數數，而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數，所以把數a稱為劉維爾數。

基本介紹

• 中文名：劉維爾數
• 外文名：Liouville number
• 領域：數學

定義

如果一個實數 滿足，對任意正整數 ，存在整數 ，其中 有

就把 叫做劉維爾數。

劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數，第一次說明了超越數的存在。

基本性質

容易證明，劉維爾數一定是無理數。若不然，則 。 取足夠大的 使 ，在 時有

與定義矛盾。

劉維爾常數

這是一個劉維爾數。取

那么對於所有正整數

超越性

概述

所有劉維爾數都是超越數，但反過來並不對。例如，著名的e和 就不是劉維爾數。實際上，有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

證明

劉維爾定理：若無理數 是代數數，即整係數 次多項式 的根，那么存在實數 ，對於所有 有

證明：令 ，記 的其它的不重複的根為 ，取這樣的A

如果存在使定理不成立的 ，就有

那么，

據拉格朗日中值定理，存在和之間的使得

有

是多項式，所以

由於和，

矛盾。

證明劉維爾數是超越數：有劉維爾數，它是無理數，如果它是代數數則

取滿足的正整數，並令，存在整數，其中，有

與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。

參見

• 丟番圖逼近