《分數階微積分學：數值算法與實現》是2023年清華大學出版社出版的圖書，作者是薛定宇、白鷺。
基本介紹
- 中文名：分數階微積分學：數值算法與實現
- 作者：薛定宇、白鷺
- 出版時間：2023年4月1日
- 出版社：清華大學出版社
- ISBN：9787302621812
- 定價：89 元
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書系統地介紹分數階微積分學領域的理論知識與數值計算方法。特別地，作者提出並實現一整套高精度的分數階微積分學的數值計算方法；提出線性、非線性分數階微分方程的通用數值解法和基於框圖的通用仿真框架；提出並實現了基於框圖的分數階隱式微分方程、延遲微分方程與分數階微分方程邊值問題的通用求解方法。本書所有知識點均配有高質量的MATLAB代碼與Simulink模型，有助於讀者更好地理解知識點的內涵，更重要地，可以利用代碼實踐並創造性地解決相關問題。 本書可供數學與套用科學領域的高年級本科生、研究生與工程師系統學習分數階微積分學理論及其計算方法，並用其解決實際套用問題。
圖書目錄
第 1章分數階微積分學簡介 1
1.1分數階微積分學的歷史回顧 1
1.2自然世界中的分數階現象與模型舉例 4
1.3分數階微積分計算的歷史回顧 5
1.3.1分數階微積分的數值計算 5
1.3.2分數階常微分方程的數值計算 6
1.3.3分數階偏微分方程的數值計算 7
1.4分數階微積分與分數階控制工具簡介 8
1.5本書的結構 9
1.5.1本書的主要內容與要點 9
1.5.2閱讀本書的建議 11
參考文獻 12
第 2章常用特殊函式的定義與計算 17
2.1誤差函式與補誤差函式 17
2.2 Gamma函式 19
2.2.1 Gamma函式的定義與性質 20
2.2.2複數的 Gamma函式 23
2.2.3 Gamma函式的其他表現形式 23
2.2.4不完全 Gamma函式 24
2.3 Beta函式 24
2.3.1 Beta函式的定義與性質 24
2.3.2不完全 Beta函式 27
2.4 Dawson函式 27
2.5超幾何函式 29
2.6 Mittag-Leffler函式 32
2.6.1單參數 Mittag-Leffler函式 32
2.6.2雙參數 Mittag-Leffler函式 34
vi分數階微積分學——數值算法與實現
2.6.3多參數 Mittag-Leffler函式 39
2.6.4 Mittag-Leffler函式與超幾何函式的關係 39
2.6.5 Mittag-Leffler函式的導數 40
2.6.6 Mittag-Leffler函式及其導數的數值運算 43
本章習題 44
參考文獻 46
第 3章分數階微積分：定義與計算 47
3.1分數階 Cauchy積分公式 48
3.1.1 Cauchy積分公式 49
3.1.2常用函式的分數階微分與積分公式 49
3.2 Grünwald–Letnikov分數階微積分定義與計算 50
3.2.1高階整數階導數的推導 50
3.2.2 Grünwald–Letnikov分數階微分的定義 50
3.2.3 Grünwald–Letnikov分數階微分與積分的數值計算 51
3.2.4 Podlubny的矩陣算法 58
3.2.5短時記憶效應及其探討 59
3.3 Riemann–Liouville分數階微積分定義與計算 62
3.3.1高階整數階積分公式 63
3.3.2 Riemann–Liouville分數階微積分定義 63
3.3.3常用函式的 Riemann–Liouville微積分公式 64
3.3.4初始時刻平移的性質 65
3.3.5 Riemann–Liouville定義的數值計算 66
3.3.6 Riemann–Liouville微積分的符號計算 68
3.4 Caputo分數階微積分定義 69
3.4.1 Caputo微積分定義 69
3.4.2常用的 Caputo導數公式 69
3.4.3 Caputo定義的符號運算 71
3.5各種不同分數階微積分定義之間的關係 72
3.5.1 Grünwald–Letnikov與 Riemann–Liouville定義的關係 72
3.5.2 Caputo與 Riemann–Liouville定義的關係 73
3.5.3 Caputo分數階微分的數值計算 73
3.6分數階微積分的性質與幾何解釋 75
3.6.1分數階微積分的性質 75
3.6.2分數階積分的幾何解釋 77
本章習題 80
參考文獻 82
第 4章分數階微積分的高精度數值計算 83
4.1任意整數階的生成函式構造 83
4.2高精度 Grünwald–Letnikov導數算法的嘗試 87
4.2.1基於 FFT的算法 88
4.2.2係數計算的遞推公式 90
4.3高精度 Grünwald–Letnokov算法與實現 95
4.3.1非零初值的分解與補償 95
4.3.2高精度算法與實現 96
4.3.3算法的測試與評價 97
4.3.4再論矩陣算法 100
4.4 Caputo微分的高精度算法 100
4.4.1算法與實現 101
4.4.2算法的測試與評價 101
4.4.3基準測試問題求解 103
4.5更高階分數階導數的計算 105
4.5.1整數階高階導數的高精度算法 105
4.5.2高階分數階導數計算 107
本章習題 110
參考文獻 112
第 5章分數階微積分運算元與系統的近似 113
5.1線性整數階模型的表示與分析 114
5.1.1數學模型輸入與處理 114
5.1.2時域與頻域回響 115
5.1.3分數階線性系統的建模與分析 115
5.2基於連分式的幾種近似方法 116
5.2.1連分式近似 116
5.2.2 Carlson近似 118
5.2.3 Matsuda–Fujii近似 121
5.2.4擬合效果與濾波器參數選擇的關係 123
5.3 Oustaloup濾波器近似 124
5.3.1常規的 Oustaloup近似 124
5.3.2一種改進的 Oustaloup濾波器 129
viii分數階微積分學——數值算法與實現
5.4分數階傳遞函式的整數階近似 132
5.4.1分數階傳遞函式的高階近似 132
5.4.2基於模型降階技術的低階近似方法 135
5.5無理分數階模型的近似 140
5.5.1隱式無理模型的近似 140
5.5.2頻域回響近似方法 141
5.5.3 Charef近似 144
5.5.4複雜無理模型的最優 Charef濾波器設計 148
5.6離散濾波器近似 154
5.6.1 FIR濾波器逼近 155
5.6.2 IIR濾波器逼近 157
5.6.3基於階躍或衝激回響不變性的離散濾波器 159
本章習題 161
參考文獻 163
第 6章線性分數階微分方程的解析解與數值解 165
6.1線性分數階微分方程簡介 165
6.1.1線性分數階微分方程的一般形式 166
6.1.2不同定義下的分數階導數初值問題 166
6.1.3一個重要的 Laplace變換公式 168
6.2一些線性分數階微分方程的解析解方法 169
6.2.1線性單項分數階微分方程 169
6.2.2雙項分數階微分方程 169
6.2.3三項分數階微分方程 170
6.2.4一般 n項分數階微分方程 171
6.3同元次線性微分方程的解析求解 172
6.3.1同元次微分方程的一般形式 172
6.3.2線性分數階微分方程求解的一些常用 Laplace變換公式 174
6.3.3同元次微分方程的解析解 175
6.4零初值線性分數階微分方程的閉式解算法 179
6.4.1閉式解算法 179
6.4.2分數階線性模型的衝激回響 181
6.4.3分數階微分方程數值解的檢驗 183
6.4.4基於矩陣的求解算法 184
6.4.5高精度閉式解算法 186
6.5非零初值線性 Caputo微分方程的數值解法 188
6.5.1 Caputo微分方程的數學描述 188
6.5.2 Taylor輔助函式算法 188
6.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 191
6.6線性分數階狀態方程求解 197
6.6.1線性分數階系統的狀態方程描述 197
6.6.2狀態轉移矩陣 198
6.6.3非同元次系統的狀態方程模型 201
6.7無理分數階微分方程的數值解法 202
6.7.1無理分數階傳遞函式描述 202
6.7.2基於數值 Laplace反變換的仿真方法 202
6.7.3閉環無理系統的時域回響計算 205
6.7.4任意輸入信號的時域回響 207
6.8線性分數階系統的穩定性判定 208
6.8.1線性同元次分數階系統的穩定性判定 209
6.8.2非同元次系統的穩定性判定 211
6.8.3無理系統的穩定性判定 214
本章習題 216
參考文獻 217
第 7章非線性分數階微分方程的數值求解 219
7.1分數階微分方程描述 220
7.1.1分數階微分方程的一般形式 220
7.1.2同元次狀態方程 221
7.1.3擴展狀態方程 221
7.2非線性 Caputo微分方程的數值解算法 223
7.2.1標量型同元次方程的數值解方法 223
7.2.2向量型同元次 Caputo微分方程的求解 227
7.2.3分數階擴展狀態方程的數值求解 231
7.2.4基於代數方程求解的微分方程算法 237
7.3 Caputo微分方程的高效高精度算法 239
7.3.1預估方程 239
7.3.2校正求解方法 242
本章習題 244
參考文獻 246
x分數階微積分學——數值算法與實現
第 8章基於框圖的分數階微分方程求解 247
8.1 FOTF工具箱與模組集簡介 247
8.1.1分數階傳遞函式模組的輸入與連線 248
8.1.2分數階線性狀態方程模型 250
8.1.3線性分數階系統的分析函式 250
8.1.4 FOTF模組集 251
8.2零初值分數階微分方程的框圖解法 252
8.2.1 Simulink建模準則 252
8.2.2 Simulink的環境參數設定 253
8.2.3分數階微分方程的 Simulink建模與求解 255
8.2.4非線性分數階微分方程數值解的檢驗 261
8.3非零初值 Caputo微分方程的框圖解法 262
8.3.1顯式 Caputo微分方程的建模仿真方法 262
8.3.2分數階狀態方程的 Simulink建模 267
8.3.3階次大於 1的狀態方程處理方法 273
8.4分數階反饋控制系統的 Simulink仿真 276
8.4.1分數階傳遞函式模組 276
8.4.2分數階 PID控制器及閉環系統仿真 276
8.4.3多變數控制系統的仿真 278
本章習題 280
參考文獻 282
第 9章特殊微分方程的數值求解 285
9.1隱式微分方程 285
9.1.1隱式 Caputo微分方程的高精度矩陣算法 285
9.1.2隱式分數階微分方程的數值解法 289
9.1.3基於剛性微分方程的求解方法 291
9.1.4隱式模組的逼近效果 292
9.2延遲微分方程的求解 294
9.2.1基本測試問題的設計 295
9.2.2歷史函式的建模 295
9.2.3延遲微分方程的求解 296
9.3微分方程的邊值問題求解 299
9.3.1邊值問題的數學形式 299
9.3.2打靶法的最最佳化與代數方程建模 300
9.3.3 Simulink的快速重啟設定 302
9.3.4邊值問題的直接求解 302
9.4時間分數階偏微分方程的數值求解 307
本章習題 314
參考文獻 316
附錄A分數階微分方程求解的基準測試問題 317
A.1基準測試問題的數學描述與證明 317
A.1.1分數階常微分方程初值問題 317
A.1.2分數階微分方程的邊值問題 322
A.1.3分數階延遲微分方程 323
A.2基本測試問題 Simulink模組組 324
本章習題 325
參考文獻 326
附錄B分數階和無理函式相關的Laplace反變換 327
B.1分數階微積分學常用的特殊函式 327
B.2 Laplace反變換表 328
參考文獻 330
附錄C FOTF工具箱函式與模型 331
C.1基本計算函式 331
C.1.1特殊函式與其他數學問題計算與支持函式 331
C.1.2分數階微積分數值計算 332
C.1.3濾波器設計 332
C.1.4線性分數階微分方程求解 332
C.1.5非線性分數階微分方程求解 333
C.2面向對象的程式設計 333
C.2.1分數階傳遞函式的 FOTF類 333
C.2.2分數階狀態方程的 FOSS類 334
C.3 Simulink模型 335
C.3.1 Simulink的 FOTF模組集 336
C.3.2重要的可重用分數階系統仿真模型 336
參考文獻 336
索引 337
