《薛定宇教授大講堂卷Ⅴ:MATLAB微分方程求解》是2020年清華大學出版社出版的圖書。
基本介紹
- 中文名：薛定宇教授大講堂卷Ⅴ:MATLAB微分方程求解
- 作者：薛定宇
- 出版社：清華大學出版社
- 出版時間：2020年3月1日
- 頁數：359 頁
- 開本：16 開
- 裝幀：平裝
- ISBN：9787302546405
內容簡介,圖書目錄,作者簡介,
內容簡介
本書系統論述了基於MATLAB的微積分方程求解方法，全面介紹了微分方程的解析解求解與數值解求解方法。這包括微分方程的初值問題、延遲微分方程與分數階微分方程問題，並介紹了基於框圖的初值問題求解方法。此外，本書還介紹了微分方程的邊值問題與偏微分方程問題的數值求解方法。
本書可作為一般讀者學習和掌握微分方程求解的教材或教輔讀物，還可以作為高等學校理工科各類專業的本科生和研究生學習計算機數學語言（MATLAB）的教材，並適合作為查詢某類數學問題求解方法的工具書。
圖書目錄
第 1章微分方程簡介 1
1.1微分方程建模簡介 1
1.1.1電路的建模 1
1.1.2力學問題的建模 3
1.1.3社會系統的建模 3
1.2微分方程發展簡史 5
1.3本書主要內容 8本
章習題 9
第 2章常微分方程的解析解 10
2.1一階微分方程的解析解 10
2.1.1可由簡單積分求解的微分方程 11
2.1.2齊次線性方程 11
2.1.3非齊次線性方程 12
2.1.4可分離變數的非線性微分方程 13
2.2特殊函式與二階線性微分方程 14
2.2.1 Gamma函式 15
2.2.2超幾何函式 16
2.2.3 Bessel微分方程 17
2.2.4 Legendre微分方程與 Legendre函式 19
2.2.5 Airy函式 20
2.3常係數線性微分方程的求解 21
2.3.1線性常係數微分方程解析解的數學描述 21
2.3.2基於 Laplace變換的求解方法 22
2.3.3非齊次微分方程的求解 24
2.3.4非零初值的微分方程求解 25
2.4一般微分方程的解析解 27
2.4.1簡單微分方程的解析解 27
2.4.2常係數高階線性微分方程的解析解 29
2.4.3線性時變微分方程的解析解 31
2.4.4線性時變微分方程組的求解 32
2.4.5邊值問題的計算機求解 33
2.5線性矩陣微分方程的求解 34
2.5.1線性狀態空間方程的解析解 35
2.5.2狀態方程的直接求解 36
2.5.3 Sylvester微分方程的求解 37
2.5.4基於 Kronecker乘積的 Sylvester微分方程直接求解 38
2.6特殊非線性微分方程的解析解 39
2.6.1可解的非線性微分方程 39
2.6.2解析解不存在的非線性微分方程 41
本章習題 41
第 3章微分方程的初值問題 45
3.1一階顯式微分方程組的初值問題 45
3.1.1初值問題的數學形式 45
3.1.2初值問題解的存在性與唯一性 46
3.2定步長數值算法與實現 46
3.2.1 Euler算法 47
3.2.2二階 Runge–Kutta算法 50
3.2.3四階 Runge–Kutta算法 51
3.2.4 Gill算法 52
3.2.5 m階 Runge–Kutta算法 53
3.2.6定步長多步算法與實現 56
3.3變步長數值算法與實現 58
3.3.1提高求解效率的措施 58
3.3.2變步長方法簡介 59
3.3.3四級五階 Runge–Kutta變步長算法 60
3.3.4基於 MATLAB的微分方程求解函式 61
3.3.5基於 MATLAB的帶有附加參數的微分方程求解 65
3.3.6避免附加參數的方法 67
3.4微分方程數值解的驗證 68
3.4.1計算結果的驗證 68
3.4.2中間計算結果的動態處理 70
3.4.3更高精度的數值計算函式 71
3.4.4計算步長與定步長顯示 72
3.4.5高階非線性微分方程的求解實例 74
本章習題 75
第 4章微分方程的標準型變換 80
4.1單個高階常微分方程變換方法 80
4.1.1高階顯式微分方程的變換 81
4.1.2時變微分方程的求解方法 84
4.1.3微分方程的奇點 85
4.1.4含有常數參數的狀態增廣方法 87
4.2複雜高階微分方程的變換與求解 88
4.2.1含有最高階導數二次方的微分方程 88
4.2.2含有最高階導數奇數次方的微分方程 90
4.2.3含有最高階導數的非線性運算 91
4.3高階常微分方程組的變換 92
4.3.1簡單的顯式微分方程組 92
4.3.2定步長算法的局限性 98
4.3.3簡單的隱式微分方程組 100
4.3.4更複雜的非線性方程組 102
4.4矩陣型微分方程的變換 104
4.4.1矩陣型微分方程的變換與求解 104
4.4.2 Sylvester微分方程 106
4.4.3 Riccati微分方程 107
4.5一類 Volterra積分微分方程的變換 109
本章習題 112
第 5章特殊微分方程 116
5.1剛性微分方程 116
5.1.1線性微分方程的時間常數 117
5.1.2剛性現象 117
5.1.3剛性微分方程的直接求解 119
5.1.4微分方程剛性的檢測 122
5.1.5剛性微分方程的定步長求解 126
5.2隱式微分方程 127
5.2.1隱式微分方程的一般數學描述 127
5.2.2隱式微分方程相容初值的變換 129
5.2.3隱式微分方程的直接求解 131
5.2.4多解隱式微分方程的求解 134
5.3微分代數方程 135
5.3.1微分代數方程的一般形式 135
5.3.2微分代數方程的指數類型 136
5.3.3半顯式微分代數方程的直接求解 136
5.3.4微分代數方程直接求解方法的局限性 139
5.3.5一般微分代數方程的隱式微分方程求解 140
5.3.6微分代數方程的指數降型方法 145
5.4切換微分方程 147
5.4.1線性切換微分方程 147
5.4.2過零點檢測與事件設定 148
5.4.3非線性切換微分方程 151
5.4.4不連續微分方程 152
5.5線性隨機微分方程 154
5.5.1線性隨機微分方程的傳遞函式 154
5.5.2連續隨機系統仿真的誤區 155
5.5.3隨機線性系統的離散化 156
本章習題 160
第 6章延遲微分方程 164
6.1帶有延遲常數的延遲微分方程數值解 164
6.1.1從普通微分方程到延遲微分方程 164
6.1.2零歷史函式的延遲微分方程求解 166
6.1.3非零歷史函式的延遲微分方程 170
6.2變延遲的微分方程 172
6.2.1變延遲的微分方程模型 172
6.2.2基於時間延遲的延遲微分方程 173
6.2.3基於狀態延遲的微分方程 176
6.2.4帶有廣義延遲的延遲微分方程 177
6.3中立型延遲微分方程的求解 179
6.3.1中立型延遲微分方程 179
6.3.2變延遲中立型微分方程 182
6.4帶有延遲的 Volterra積分微分方程 183
本章習題 184
第 7章微分方程的性質與行為 187
7.1微分方程的穩定性 187
7.1.1常係數線性微分方程的穩定性 187
7.1.2 Routh–Hurwitz穩定性判據 189
7.1.3 Lyapunov函式與 Lyapunov穩定性 192
7.1.4時變微分方程的自治化 193
7.1.5一般非線性系統的穩定性判定 193
7.1.6基於數值仿真的複雜系統穩定性判定 195
7.2微分方程的特殊行為 197
7.2.1極限環 198
7.2.2周期解 201
7.2.3混沌與吸引子 204
7.2.4 Poincaré映射 208
7.3微分方程的線性化近似 210
7.3.1平衡點 210
7.3.2非線性微分方程的線性化 213
7.3.3平衡點的性態 216
7.4微分方程的分岔 217
本章習題 218
第 8章分數階微分方程 219
8.1分數階微積分的定義與數值計算 220
8.1.1分數階微積分的定義 220
8.1.2不同分數階微積分定義的關係與性質 221
8.1.3 Grünwald–Letnikov定義的數值計算 222
8.1.4 Caputo微積分定義的數值計算 223
8.2同元次線性分數階微分方程的解析解 224
8.2.1 Mittag-Leffler函式 224
8.2.2同元次線性分數階微分方程 225
8.2.3一個重要的 Laplace變換公式 226
8.2.4基於部分分式展開的解析解方法 227
8.3常係數線性分數階微分方程的數值求解 231
8.3.1線性方程的閉式解法 231
8.3.2 Riemann–Liouville微分方程 233
8.3.3 Caputo微分方程 235
8.3.4等效初值的計算 237
8.3.5微分方程的高精度算法 239
8.4非線性分數階微分方程的求解 242
8.4.1預估方程 243
8.4.2校正求解方法 246
8.4.3隱式 Caputo微分方程的高精度矩陣算法 247
本章習題 249
第 9章常微分方程的框圖求解 251
9.1 Simulink必備知識 252
9.1.1 Simulink簡介 252
9.1.2 Simulink相關模組 252
9.2微分方程的框圖建模思想 254
9.2.1積分器鏈與關鍵信號生成 254
9.2.2微分方程的框圖描述方法 255
9.2.3微分方程的求解 257
9.2.4算法與參數設定 258
9.3微分方程建模舉例 260
9.3.1一般微分方程組 260
9.3.2微分代數方程 263
9.3.3切換微分方程 265
9.3.4不連續微分方程 267
9.3.5延遲微分方程 267
9.3.6非零歷史函式的延遲微分方程 269
9.3.7隨機微分方程 271
9.4分數階微分方程的 Simulink求解 272
9.4.1分數階運算元的模組逼近 273
9.4.2 Riemann–Liouville分數階微分方程的建模與求解 274
9.4.3 Caputo導數的模組計算 276
9.4.4 Caputo分數階微分方程的建模與求解 277
9.4.5分數階延遲微分方程 279
本章習題 280
第 10章微分方程的邊值問題 283
10.1微分方程標準邊值問題 283
10.2二階微分方程兩點邊值問題的打靶求解 284
10.2.1線性時變方程邊值問題的打靶算法 285
10.2.2線性微分方程的有限差分算法 287
10.2.3非線性方程邊值問題的打靶算法 289
10.3高階微分方程兩點邊值問題 293
10.3.1 MATLAB的直接求解函式 293
10.3.2簡單邊值問題的求解 294
10.3.3複雜邊值條件的描述與求解 298
10.3.4帶有待定參數的邊值問題 298
10.3.5半無窮區間的邊值問題 301
10.3.6帶有浮動邊值的多解微分方程 302
10.3.7積分微分方程的邊值問題 303
10.4基於最最佳化技術的微分方程邊值問題求解 304
10.4.1簡單邊值問題的最最佳化求解 304
10.4.2隱式微分方程的邊值問題 305
10.4.3延遲微分方程的邊值問題 308
10.4.4多點已知值的微分方程問題 309
10.4.5浮動邊值問題的重新求解 311
10.4.6基於框圖的邊值問題求解方法 312
10.4.7分數階微分方程的邊值問題 313
本章習題 314
第 11章偏微分方程入門 316
11.1擴散方程的數值求解 317
11.1.1一維擴散方程的數學形式與解析解 317
11.1.2擴散方程的離散化方法 318
11.1.3非齊次擴散方程 321
11.1.4高維擴散方程的數學形式 323
11.2幾種特殊形式的偏微分方程 323
11.2.1偏微分方程的分類 323
11.2.2特徵值型偏微分方程 325
11.2.3邊界條件的分類 325
11.3典型二維偏微分方程求解界面 326
11.3.1偏微分方程求解程式概述 326
11.3.2偏微分方程幾何區域繪製 327
11.3.3偏微分方程邊界條件描述 328
11.3.4偏微分方程求解舉例 329
11.3.5解的其他顯示方法 330
11.3.6函式參數的偏微分方程求解 332
11.4一般偏微分方程的求解 333
11.4.1創建空白的偏微分方程對象模型 333
11.4.2幾何區域的語句描述 333
11.4.3邊界條件與初始條件描述 336
11.4.4偏微分方程的描述 337
11.4.5偏微分方程的數值求解 338
本章習題 343
參考文獻 345
MATLAB函式名索引 350
術語索引 354
作者簡介
薛定宇教授： 分別在瀋陽工業大學、東北大學和英國Sussex大學獲得學士（1985年）、碩士（1988年）和博士學位（1992年），1997年任東北大學信息學院教授。深耕於計算機在數學與自動控制學科的套用，主持了國家精品課程建設，並於1996年在清華大學出版社出版《控制系統計算機輔助設計——MATLAB與套用》，該教材被認為是國內MATLAB套用領域具有深遠影響的一部圖書，為MATLAB在國內高校教學與科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先後被評為遼寧省教學名師、遼寧省優秀教師，獲得國家教學成果二等獎。其主講的“控制系統仿真與CAD”課程被評為國家精品課程、國家精品資源共享課程；主講的“現代科學運算——MATLAB語言與套用”課程被評為遼寧省精品資源共享課程，配套錄製的全新慕課課程均上線於愛課程與中國慕課網站。
