分布密度

分布密度亦稱“機率的分布密度”。設某連續隨機變數落在某區間內的機率為P，△x>0是區間的長度，則P/△x的比值叫做隨機變數在該區間上的“平均機率分布密度”，如果當區間長度△x→0時，比值的極限存在，則這極限叫做隨機變數在點x處的機率分布密度，簡稱分布密度。

基本介紹

• 中文名：分布密度
• 外文名：distribution density
• 所屬領域：數理統計
• 別稱：機率分布密度
• 描述對象：連續性隨機變數
• 相關概念：分布函式、連續性隨機變數等

定義

分布密度亦稱“機率的分布密度”。設連續型隨機變數落在區間內的機率為其中x是任何實數，△x>0是區間的長度，則比值叫做隨機變數在該區間上的“平均機率分布密度”。如果當△x→0時，比值的極限存在，則這極限叫做隨機變數在點x處的機率分布密度，簡稱分布密度，記作

分布密度的圖形通常叫做“分布曲線”。

密度函式的性質

連續型分布是隨機變數的兩個常用的分布類型之一，它的分布函式不能用列表方式表示，若隨機變數ξ可取某個區間(c，d)中的一切值，且存在一個非負可積函式，使得ξ的分布函式可以表示為

則稱ξ服從連續型分布，或稱ξ是連續型隨機變數，稱為ξ的分布密度。

由定義顯然可知，連續性隨機變數X的分布函式是連續函式。

密度函式具有如下性質：

(1) 非負性：

(2) 規範性：

(3)

即連續型隨機變數ξ落在任一區間(a，b]內的機率等於分布密度在該區間上的積分。由(1)式知道，的值等於以為底，以曲線為頂的曲邊梯形的面積。由性質(2)知道，介於曲線與x軸之間的平面圖形的面積為1；由性質(3)知道，ξ落在區間的機率等於以曲線為曲邊，底為區間的曲邊梯形的面積。

(4) 若x₀是的連續點，則

(5) 因為是連續函式，故有

即連續型隨機變數取任一單個值的機率為0。

由此可知：機率為0的事件不一定是不可能事件，稱之為幾乎不可能事件；同樣機率為1的事件也不一定是必然事件。

由於連續型隨機變數取單點值得機率為0，因此，計算連續型隨機變數X落在某區間的機率時，區間是否包含端點是無需考慮的。因此，對於連續性隨機變數X，若a<b，有

常用的連續型分布有常態分配、均勻分布、指數分布、對數正態分部、韋布爾分布、Γ分布、Β分布等。
對二維隨機向量，用表示它們的分布函式，若存在非負的二元函式，使對任意實數有

則稱為連續型隨機向量，稱為連續型分布函式，而稱為的分布密度，其分布密度有如下性質：

1.
2.

3. 若在點處連續，則有

4. 若是平面上的一個區域，則點落在內的機率為

亦即機率等於以為底、以曲面為頂面的柱體體積。

例題解析

例1 設隨機變數X的機率密度為試求X的分布函式。

解： 當時，

當時，

當時，

當時，

故得X的分布函式為：

例2 設隨機變數X的密度函式為(其中常數k>0)，

試求：（1）k的值；

（2）

（3）X的分布函式。

解：（1）由得

（2）

（3）由則