聯合分布

定義

設(X,Y)是二維隨機變數，對於任意實數x,y，二元函式：

F(x,y) = P{(X<=x) 交 (Y<=y)} => P(X<=x, Y<=y)

稱為：二維隨機變數(X,Y)的分布函式，或稱為隨機變數X和Y的聯合分布函式。

隨機變數X和Y的聯合分布函式是設(X,Y)是二維隨機變數，對於任意實數x,y，二元函式：F(x,y) = P{(X<=x) 交 (Y<=y)} => P(X<=x, Y<=y)稱為二維隨機變數(X,Y)的分布函式。

聯合機率分布的幾何意義

如果將二維隨機變數(X,Y)看成是平面上隨機點的坐標，那么分布函式F(x,y)在(x,y)處的函式值就是隨機點(X,Y)落在以點(x,y)為頂點而位於該點左下方的無窮矩形域內的機率。

在機率論中, 對兩個隨機變數X和Y，其聯合分布是同時對於X和Y的機率分布。

設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S={e}。設X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機變數，由它們構成的一個向量（X,Y），叫做二維隨機向量或二維隨機變數。

對離散隨機變數 X， Y 而言，聯合分布機率密度函式如下：

。因為是機率分布函式，所以必須滿足以下條件：

。

類似地，對連續隨機變數而言，聯合分布機率密度函式為fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分別代表X = x時Y的條件分布以及Y = y時X的條件分布；fX(x)和fY(y)分別代表X和Y的邊緣分布。

同樣地，因為是機率分布函式，所以必須有：∫x∫y fX,Y(x,y) dy dx=1

若對於任意x和y而言，有離散隨機變數：

P(X=x and Y=y)=P(X=x) ·P(Y=y)

或者有連續隨機變數：

pX,Y(x,y)=pX(x)·pY(y)

則X和Y是獨立的。

二元聯合分布可以推廣到任意多元的情況X1, ..., Xn

fx1,…..,xn(x1,….,xn)=fxn∣x1,...,xn-1(xn∣x1,...,xn-1)fx1,...,xn-1(x1,...,xn-1)