函式連續不代表函式圖像連續

在這篇文章中，筆者嘗試解釋“函式連續不代表函式圖像連續”這個問題。

目錄

問題引入

用切線去定義函式圖像連續

利用定義去判斷函式圖像是否連續

問題引入

內容簡介

函式在某一點處連續的定義是在f（x）在某一點處左右極限相等且都等於該點的函式值。

似乎該定義可以表達我們心目中的連續了。我們先看下面的問題：

我們經常對“連續且可導函式的導函式可以不連續”難以想像，在我們的直覺中，連續且可導函式的導函式應該是連續的。按理說一個函式連續且可導，那它的圖像應該是光滑的，既然圖像光滑，那它的導函式為什麼會出現間斷的情況呢?原因只有一個，我們想像中的函式的連續與定義的函式連續不是完全相同的。我們想像中的函式連續是函式圖像連續不斷的，而在上述定義的函式圖像可以間斷。你可能會問，函式連續時圖像怎么可能間斷？我們必須去思考這個問題。

用切線去定義函式圖像連續

我們首先約定下面討論的函式滿足條件：函式f（x）在定義域E內連續且處處可導，定義域為E。

基本初等函式的圖像在自然定義域內連續不斷是毋庸置疑的，我們希望從它們中找出規律。

筆者的想法是：

由約定的條件，f（x）的圖像在（t，f（t））處總有切線，其中t∈E。設Q為所有切線構成的集合，Q={q| y-f'(t)x+tf'(t)-f(t)=0,t∈E},q代表點（t，f（t））處的切線。
我們可以得到一個從t到q的映射F,記作q=F(t），t∈E。切線q是隨著t的變化而變化。

仿照數列，函式，向量的極限的建立原則，我們可以認為直線也可以取極限。設動直線L:Ax+By+C=0,(A,B不同時為0），A=A(t),B=B(t），C=C(t），即直線隨著t的變化而變化，t是自變數，對直線取極限的結果是對A,B,C分別取極限後再代入動直線方程得到的直線。

若lim(x趨近於a）F(t)= F(a),則稱函式f（x）的圖像在點a處連續。用文字表述就是：在某一點處左右切線的極限等於該點處的切線。在筆者看來，用切線可以準確地定義函式圖像連續。

現在給出函式f（x）的圖像在點a處連續的充分必要條件是lim（t趨近於a）f’（t）存在
必要性：由於函式f（x）的圖像在點a處連續，lim(x趨近於a）F(t)存在，即lim（t趨近於a）f’（t）存在；
現在證明充分性：易求得F(a):y - f’（a）x + af'(a)-f(a)=0
由導函式的性質知道lim（t趨近於a）f’（t）=f’（a）；
由函式在E內連續知道lim（t趨近於a）f（t）=f（a）；
則lim（t趨近於a）F（t）：y - lim(t趨近於a)f'(t) x + lim(t趨近於a）（tf’（t）-f（t））=0；
由極限的運算法則，化簡得：y - f’（a）x + af'(a)-f(a)=0

故lim(x趨近於a）F(t)= F(a)，函式f（x）的圖像在點a處連續。

事實上，由於導函式的特殊性（它沒有第一類間斷點），lim（t趨近於a）f’（t）=f’（a），lim（t趨近於a）f’（t）存在可以繼續推出導函式在點a處連續。再綜合上面的推導，得出的結論是：

在f（x）連續且處處可導的情形下，從函式圖象連續可以推出導函式連續；導函式不連續時，函式圖像不連續。

事實證明，在約定的情形下，該定義可以解釋“連續且可導函式的導函式可以不連續”這個問題，也反映了函式連續時，圖像可以不連續。

我們舉一個實例：

f（x）=x2sin（1/x) x不等於0； f（x）=0 x=0
該函式是連續的，但圖像不連續。 理由是

經計算發現，lim（x趨近於0）=0=f（0），故函式在x=0處是連續的；

我們用切線去判斷函式圖像是否連續，lim(x趨近於0）F(t)不存在，因為lim（t趨近於0）f’（t）不存在，

所以 函式圖像不連續。

此時用導數的定義可知，f‘(0)=0,而lim（t趨近於0）f’（t）不存在，故導函式在x=0處不連續。

二者是高度的統一。

讀者還可以嘗試驗證

2.f（x）=x3sin（1/x) x不等於0； f（x）=0 x=0

該函式是連續的，圖像也是連續的。

3.f（x）=sinx /x （x不等於0）
f（x）=1（x=0）
該函式是連續的，圖像也是連續的。

筆者認為，函式連續的抽象意義大於它的形象意義，它可以參與嚴謹的邏輯論證，但它不能完全表達函式圖像連續的信息。綜上所述，函式連續不代表函式圖像連續。

後話：

以上為筆者個人之見，難免有疏漏之處，敬請諒解。如有不認同的觀點，可以在貼吧處搜尋該詞條“函式連續不代表圖像連續”，共同討論，各抒己見。