達布連續函式(Darboux continuous function)是一種具有介值性的函式，即具有下列性質的函式：介於任意兩個函式值之間的任意數都是該函式的函式值，這個性質又稱函式的介值性。即：對於區間I及函式f∶I→R，若對任意x1，x2∈I及f(x1)與f(x2)之間的任何k，存在x1與x2之間的x0，使f(x0)=k，則稱f在I上達布連續。
基本介紹
- 中文名：達布連續函式
- 外文名：Darboux continuous function
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：數學分析（實分析）
- 簡介：一種具有介值性的函式
基本介紹,達布連續函式的性質,
基本介紹
定義 所謂函式f在[a，b]上具有介值性，是指任意x1，x2∈[a，b]，y是介於f(x1)與f(x2)之間的任意一個數，則總有x3介於x1與x2之間，使y=f(x3)．這時我們稱f在[a，b]上是Darboux函式，簡稱D函式，記為f∈D。
所謂函式f具有無窮介值性，記為f∈D*是指上述定義中，有無窮多個x3，介於x1與x2之間，使y=f(x3)。
所謂函式f具有c介值性，記為f∈D**是指上述定義中，有c個x3，介於x1與x2之間，使y=f(x3)，其中c為連續統之勢。
因為連續函式具有介值性，故有關係
，具有c介值性必有無窮介值性更有介值性，因此
。
【例1】 連續函式有介值性，但有介值性函式未必連續。如函式
設P為[0，1]中Cantor集，{(an，bn)}為P的接鄰區間全體，f與g為：
則f∈D，但
。而f，g在P上都是不連續的。
達布連續函式的性質
1.由介值定理，定義在區間上的連續函式必是達布連續的，但反之不一定成立。
例如，由f(x)=sin(1/x)(x≠0)與f(0)=0定義在[-1，1]上的函式f達布連續，但在x=0處不連續。
2.f：[a，b]→R達布連續的充分必要條件是f把[a，b]的任何閉子區間映為區間或一個點。
3.達布連續函式的複合是達布連續的，因此，f(x)達布連續時，|f(x)|，f(x)，cf(x) (c∈R)，1/f(x) (f(x)≠0)也達布連續。
4.對於單調函式而言，達布連續與連續是等價的。
5.若f：R→R，且f在每個x∈R處的左、右極限存在，則f達布連續若且唯若f連續。
6.達布連續函式之和不一定達布連續。
7.達布連續函式列的一致極限不一定達布連續。
8.達布連續函式沒有第一類間斷點。
9.一個函式的導函式必達布連續(達布定理)。
10.任何函式f∶R→R是兩個達布連續函式之差。
歷史上有些數學家曾以為介值性與連續性是等價的，達布((J.-)G.Darboux)澄清了這兩個概念的差別。
