達布下和

達布上和與達布下和是描述函式可積的工具，使用達布上和與達布下和可以給出達布積分的概念。達布積分等價於黎曼積分，這意味著一個函式達布可積若且唯若它是黎曼可積的。

達布和、達布積分是以發明者Jean-Gaston Darboux(1842.08.14 – 1917.12.23)的名字命名的。

定義

曲間的劃分(partition)

定義：曲間的一個劃分是指一個有限的序列，滿足

達布和

定義1.設是定義在曲間上的函式，設是的一個劃分，設

記

稱為關於劃分P的達布上和與達布下和。

達布積分

定義2.設是定義在曲間上的函式，記

稱為的達布上積分與達布下積分，或者，記為

達布可積

定義3.設是定義在曲間上的函式，稱是達布可積的，若

性質

以下總假定是定義在曲間上的函式。則達布和、達布積分各具有下列性質：

1）對於任何給定的劃分,達布上總是大於或等於達布下和。且具有下列不等式成立：

2）達布積分滿足下列不等式：

3）對任意，

4）是定義在曲間上的函式，

5）對，

6）對

7）

是Lipschitz連續的。

例子

設是如下定義在曲間上的函式：

注意到有理數和無理數在實數上稠密，則對的任意劃分子曲間上既可以取到0，也可以取到1，因此，我們有

此時，達布上積分和達布下積分不相等，所以，不是上的可積函式。