半連續性

在數學分析中，半連續性是實值函式的一種性質，分成上半連續與下半連續，半連續性較連續性弱。

基本介紹

• 中文名：半連續性
• 外文名：Semi-continuity
• 分類：數學分析
• 領域：數理科學

形式定義

設 為拓撲空間， 而為實值函式。若對每個 ε > 0 都存在的開鄰域使得，則稱在上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：

若在上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函式。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在的開鄰域使得，則稱在下半連續。用下極限等價地表述為：

若在上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函式。

拓撲基賦予實數線較粗的拓撲，上半連續函式可以詮釋為此拓撲下的連續函式。若取基為，則得到下半連續函式。

例子

考慮函式

此函式在上半連續，而非下半連續。

下整數函式處處皆上半連續。同理，上整數函式處處皆下半連續。

圖1 上半連續函式的例子

圖2 下半連續函式的例子

性質

一個函式在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若在某一 點上半連續，則亦然；若兩者皆非負，則在該點也是上半連續。若在一點上半連續，則在該點下半連續，反之亦然。

若為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函式必取到極大值，而下半連續函式必取到極小值。

設為下半連續函式序列，而且對所有有

則 是下半連續函式。

開集的指示函式為下半連續函式，閉集的指示函式為上半連續函式。