半連續

定義在拓撲空間E上的數值函式f稱為在E的點x₀下(上)半連續，如果對滿足b<f(x₀)(b>f(x₀))的R上任一元素b，存在x0的鄰域V，使對V上的任一點x，b<f(x)(b>f(x))，如果f在E上的任一點都是下(上)半連續的，則稱f在E上是下(上)半連續的。

為使數值函式f在x₀點是連續的，必須且只須它在該點既是下半連續又是上半連續的。為使f在點x₀下半連續,必須且只須其反號函式-f在該點上半連續。設(f_i)_i∈I為定義在拓撲空間E上、而在E的點x₀下半連續的數值函式族， 則族(f_i)_i∈I的上包絡在x₀點下半連續，如果集合I是有限的，則族(f_i)_i∈I的下包絡在x₀點也是下半連續的，為使拓撲空間E的一個子集是開的(閉的)，必須且只須它的特徵函式在E上是下(上)半連續的。在緊空間上定義且下半連續的數值函式f可達到其下確界。

基本介紹

• 中文名：半連續
• 外文名：semicontinuous
• 所屬學科：數理科學
• 分類：上半連續、下半連續
• 相關概念：閉集、拓撲空間等

如果某個函式 的上圖是閉集，我們稱 為閉函式。閉性與經典的下半連續性的概念有關，函式 是在向量 處下半連續的，如果

對於每個滿足 的點列 成立，我們稱 是下半連續的(lower semicontinuous)，如果它在定義域X的每一點x處都是下半連續的，我們稱 是上半連續的(upper semicountinous)，如果 是下半連續的，這些定義與針對實函式的相應定義是一致的。

相關性質定理

以下命題將函式的閉性、下半連續性和函式水平集的閉性聯繫起來。見圖1

圖1

圖1 函式上圖和它的水平集關係的示意圖，易見水平集 經過平移後等同於 和“切片” 的交集，這表明 為閉若且唯若所有的水平集為閉。

命題1

對於函式 ，以下各款等價：
(i)水平集 對每個標量 均為閉；
(ii)函式 為下半連續的；
(iii)集合 為閉。

證明： 如果 對所有 成立，那么結果是平凡的，顯然成立。我們假定 對至少一個 成立，這樣 就是非空的，且至少有一個非空的水平集，先來證明(i)蘊含(ii)。假定水平集 對於每個標量 都是閉的，反設

對某個 和收斂到 的點列 成立，並且令 為滿足

的標量。那么必存在子列 使得 對所有 成立，於是 成立，由於 是閉的， 必然也屬於 ，於是 ，從而導出矛盾。
下面證明(ii)蘊含(iii)，假定 在 上為下半連續，並令 為點列

的極限，於是我們有 ，進而令 ，由 在 處的下半連續性，我們得到

於是， 故 為閉。

最後證明(iii)蘊含(i)。假定 為閉，且令 為點列，它收斂到某個 且屬於對應於某個標量 的水平集 ，於是 對於所有的k成立，並且 ，因而由於 為閉，我們有
，故 屬於 ，這意味著這個集合是閉的。

在大部分推導中，我們傾向於採用閉性的概念，而較少用到下半連續性，其中的一個原因是，不同於閉性，下半連續性是一個與定義域有關的性質。例如，由

定義的函式 既不是閉的也不是下半連續的；但如果把它的定義域限制到(0，1)上，就變成為下半連續。

另一方面，如果函式 具有閉的有效定義域且在每個 處均為下半連續，那么 必然是閉的，我們把這個結論敘述為一個命題，其證明可以據命題1證明(ii)蘊含(iii)的過程給出。

命題2

令 為一函式，如果它的有效定義域 是閉的，且 在每個 處均是下半連續的，那么函式 是閉的。
舉例來說，集合X的示性函式為閉若且唯若X是閉的(“當”的部分可以根據上述命題得出，而“僅當”的部分可以用上圖的定義導出)，更一般地，如果 是形如

的函式，其中 為連續函式，那么可以證明 是閉的若且唯若X是閉的。

最後需要指出非真的閉凸函式非常特殊：它不能在任何點上取有限值，因此它具有如下形式

為明白其中的原因，讓我們來考慮非真的閉凸函式 ，並假定存在著某個x使得 為有限．令 滿足 。(這樣的點必然存在，因為 是非真的並且 不恆等於∞)，因為 是凸的，可知每個點

都滿足 ，同時有 ，因為 是閉的，這意味著 ，從而導出矛盾，總之，非真的閉凸函式在任何點都不能取有限值。

性質1

若干個半連續函式，它們的和是一個無處半連續的函式。

性質2

兩個半連續函式，其最小值函式並不半連續。

性質3

一個收斂的上半連續函式序列，其極限函式並不上半連續。