函子自然變換

函子自然變換是處理函子之間關係的一個重要概念，由它可得出有用的可換圖。

基本介紹

• 中文名：函子自然變換
• 外文名：natural transformation of functors
• 適用範圍：數理科學

簡介

函子自然變換是處理函子之間關係的一個重要概念，由它可得出有用的可換圖。設 F，G:𝒞→𝒟 為兩個共變函子，從 F 到 G 的一個自然變換 h:F→G 是指：∀A∈𝒞有 h(A)∈Hom_𝒟(F(A),G(A))，使對留中任意的態射 f:A→B，有 G(f)h(A)=h(B)F(f)，即有可換圖如下。

圖1.

自然等價

若自然變換h:F→G對任何 A∈𝒞 都是 𝒟中的等價態射，則 h 又稱為函子 F 到 G 的自然等價，記為 或，它可將 E 到 D 的全體函子分成等價類，在許多問題中，屬同一個自然等價類的函子可不加區別，從而簡化了函子的研究，對自然變化也可定義其合成，設 h: f→ G 與 k:G→ H 都是 E 到 D 到函子間之自然變換，規定(kh)(A)=k(A)h(A) 即得 h 與 k 的合成 kh，它是 F 到 H 的自然變化，對偶地可定義反變函子間的自然變換與自然等價。

等價類

在離散數學中，等價關係是指定義在集合A 上的關係，滿足自反的、對稱的和傳遞的等性質。

設 R 是定義在集合 A 上的等價關係，與 A 中一個元素 a 有關係的所有元素的集合叫做 a 的等價類。