么半範疇

么半範疇（monoidal category），或稱張量範疇（tensor category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。

基本介紹

• 中文名：么半範疇
• 外文名：monoidal category
• 別稱：張量範疇
• 學科：數理科學

定義

數學中中，一個張量範疇（tensor category，或稱么半範疇monoidal category）是一個包含單一個對象的雙範疇）bicategory）。

更具體的描述：一個張量範疇是

1）一個範疇 ;

2）被賦予張量積，即一個二元函子

3）被賦予一個單位對象

4）被賦予三組自然同構映射：

結合子

左/右單位子: 自然同構映射

嚴格么半範疇

嚴格么半範疇(strict monoidal category) 是個么半範疇 ，其自然態射 和 都是恆等影射。

取任一 範疇 , 我們可構築其自由嚴格么半範疇 ：

1）對象：其每一對象是一串由 裡面的對象組成之有限序列 ；

2）態射：若且唯若n=m時，我們在二個對象 之間定義態射：

每態射 是一串由態射組成的有限序列 ；

3）張量積： 二個-對象及之張量積， 我們定義為 此二有限序列之串接 ； 同樣地任何二-態射之張量積， 我們定義為其串接。

例子

取任一範疇，若以其平常範疇積作張量積，以其終對象作單位對象，則成為一個張量範疇。

亦可取任一範疇，以其餘積（co-product）作張量積，以其始對象作單位對象，亦成一個張量範疇。 （此二例實為對稱么半範疇結構。） 但亦有許多張量範疇，其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇余積。

相關的結構

• 很多張量範疇更進一步有辮,交換態射or封閉等結構。
• 么半函子為二張量範疇（么半範疇）間、保存張量積結構之函子；么半態射為二么半函子間之態射（自然變換 (natural transformations)）。
• 一般么半群之概念可推廣成么半範疇中的么半對象。尤其者，可視一嚴格么半範疇作 範疇之“範疇”Cat中的么半對象（並以卡氏積為么半結構）。
• 上有界交半格構成一嚴格對稱么半範疇：其積為交，而單位元則為頂。