傅立葉展開式

歷史

傅立葉展開式是一個函式的傅立葉級數在它收斂於此函式本身時的一種稱呼。而傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅立葉(1768年–1830年)，他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非周期函式的三角級數展開，而認定一個函式有三角級數展開之後，通過積分方法計算其係數的公式，歐拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅立葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他被稱為傅立葉逆轉定理的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將周期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的套用。

定義

表示實變數

的一個函式，且

在

上可積，

和

為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函式的無窮和或級數來表示該區間內的

。在區間外，級數以

為周期（頻率為

）。若

也具有該性質，則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始：

為周期為

的周期函式。運用恆等式：

我們還可以用這些等價形式書寫這個函式：

其中：

當係數（即傅立葉係數）以下面方式計算時：

在

近似了

，該近似程度會隨著N→∞ 逐漸改善。這個無窮和

叫做

的傅立葉級數。在工程套用中，一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函式比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅立葉級數絕對收斂且一致收斂於s(x)，只要在s(x) 的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。如果一個函式在區間 [x₀, x₀+P]上是平方可積的，那么此傅立葉級數在幾乎所有點都收斂於該函式。傅立葉級數的收斂性取決於函式有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見傅立葉級數的收斂性之一。對於廣義函式或分布也可以用範數或弱收斂定義傅立葉係數。