主理想整環

主理想整環是比單一分解環範圍更窄的整環類。若一個環R的任意理想都是主理想，則稱R為主理想環。若R同時又為整環，則R稱為主理想整環。

整數環Z及域上一元多項式環都是主理想整環，主理想整環必為單一分解環，反之不真。

基本介紹

• 中文名：主理想整環
• 外文名：principal ideal domain
• 適用範圍：數理科學

簡介

設 R 是一個整環，如果 R 的每個理想都是主理想，即都可以由一個元素生成，則稱 R 是主理想整環。

整數環是主理想整環。設 F 是域，則多項式環 F[x] 也是主理想整環。

設 R 是主理想整環，I 是 R 的非零真理想，則

I 是素理想I 是極大理想。

主理想環

定義

一個整環叫做一個主理想環，假如整環的每一個理想都是一個主理想，則稱一個主理想環一定是一個唯一分解環。

等價定義

設A為整環，那么下面的條件等價：

1. A是主理想環；

2. A的每個素理想都是主理想；

4. A的任意理想都是主理想；

5. A存在Dedekind–Hasse範數。

整環

一個非零環R叫做一個整環（integral domain），整環是抽象代數中最基本的概念之一。對任意的a,b屬於環R，假如：

1、乘法適合交換律ab=ba；

2、R有單位元e；

3、R沒有零因子ab=0可得a=0或b=0，

則R是整環。