不可約黎曼對稱空間

Riemannian space of constant curvature截面曲率為常數的黎曼流形，它包括了歐氏空間、球面、雙曲空間為其特例。在曲面論中，高斯曲率K為常數的曲面局部地為球面(K>0)，平面（K=0）或雙曲平面(K<0)。在高維時高斯曲率的自然推廣為截面曲率(見黎曼幾何學)。

基本介紹

• 中文名：不可約黎曼對稱空間
• 外文名：irreducible Riemanniansymmetric space

定理說明

不可約黎曼對稱空間(irreducible Riemanniansymmetric space)最基本的黎曼對稱空間.若黎曼對稱空間M對應的正交對稱李代數(g}}}r>是半單的，即g為實半單李代數，則稱M為半單型的.若將g的伴隨模y限制於協上，則g為必模(ad辦}9> >}是協模g的子模.若p是不可約的，則稱(g}}}r)為不可約正交對稱李代數，M為不可約黎曼對稱空間.不可約正交對稱李代數(g}}}r)的對偶(g* }}i* ,r*)也是不可約的.

結構類型

1.g為緊單李代數，:為其對合自同構，此時，對應的黎曼對稱空間稱為第一類緊型不可約黎曼對稱空間.

2.上述情形的對偶，此時g為非緊單李代數，無復結構，:為其嘉當對合.

3. g=g,④gz,gg:是同構的g的緊單理想，且tg, -gz. g的分解為g=}乾p，其中}_ {X+r(X) }XEg, } }}_ {X一二(X> }XEg,}，對應的黎曼對稱空間可用下述辦法來實現:設G，是以g}為李代數的連通李群，在直積G=G, X G,中有對合自同構a (gg:)一(g:，g，)，於是，DG={<g,g)}g任G,}為a的不動點集，且}G-^.=G,，所以G/DG是黎曼對稱空間，而且映射}P:抓g, } gz ) DG=g,gz‘是G/DG到G，上的微分同胚，因此G，是黎曼對稱空間.G/DG稱為第二類緊型不可約黎曼對稱空間.

4.上述情形的對偶，這時g為非緊單李代數，並有復結構.

不可約黎曼對稱空間G/K的黎曼結構Q在二((e)處可表示為

Q}o, <X ,Y)=k trad X ad Y (X，YES)，G/K為緊型時，k<O;G/K為非緊型時，k>0.