基本介紹
概念簡介,N體問題,三體問題,問題起源,研究方法,數學推斷,特殊情況,限制性三體問題,研究進展,相關作品,
概念簡介
N體問題
限制性三體問題三體問題
天體力學中的基本力學模型。研究三個可視為質點的天體在相互之間萬有引力作用下的運動規律問題。這三個天體的質量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三體問題中，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下的運動方程都可以表示成3個二階的常微分方程，或6個一階的常微分方程。因此，一般三體問題的運動方程為十八階方程，必須得到18個積分才能得到完全解。然而，還只能得到三體問題的16個積分，因此還遠不能解決三體問題。
三體問題
三體問題問題起源
在二十世紀的第一次數學家大會(1900年)上，二十世紀偉大的數學家希爾伯特(David Hilbert)在他著名的演講中提出了23個困難的數學問題，這些數學問題在二十世紀的數學發展中起了非常重要的作用。在同一演講中，希爾伯特也提出了他所認為的完美的數學問題的準則：問題既能被簡明清楚的表達出來，然而問題的解決又是如此的困難以至於必須要有全新的思想方法才能夠實現。為了說明他的觀點，希爾伯特舉了兩個最典型的例子：第一個是費馬大定理，即代數方程 x^n+y^n=z^n 在n大於2時是沒有非零整數解的；第二個就是所要介紹的N體問題的特例------三體問題。 值得一提的是，儘管這兩個問題在當時還沒有被解決，希爾伯特並沒有把他們列進他的問題清單。但是在整整一百年後回顧，這兩個問題對於二十世紀數學的整體發展所起的作用恐怕要比希爾伯特提出的23個問題中任何一個都大。費爾馬猜想經過全世界幾代數學家幾百年的努力，終於在1995年被美國普林斯頓大學(Princeton University)懷爾斯(Andrew Wiles)最終解決，這被公認為二十世紀最偉大的數學進展之一，因為除了解決一個重要的問題，更重要的是在解決問題的過程中好幾種全新的數學思想誕生了，難怪在問題解決後也有人遺憾地感嘆一隻會生金蛋的母雞被殺死了。
希爾伯特
希爾伯特研究方法
由於三體問題不能嚴格求解，在研究天體運動時，都只能根據實際情況採用各種近似的解法，研究三體問題的方法大致可分為3類：
第一類是分析方法，其基本原理是把天體的坐標和速度展開為時間或其他小參數的級數形式的近似分析表達式，從而討論天體的坐標或軌道要素隨時間的變化；
第二類是定性方法，採用微分方程的定性理論來研究長時間內三體運動的巨觀規律和全局性質；
第三類是數值方法，這是直接根據微分方程的計算方法得出天體在某些時刻的具體位置和速度。
這三類方法各有利弊，對新積分的探索和各類方法的改進是研究三體問題中很重要的課題。
數學推斷
在三體問題中，作用於質點Qi的力是：
式中m為質點的質量；r為質點的位置矢量；rij為兩質點間的距離；Fij為兩質點間的作用力。三體問題的運動微分方程可寫作：
式中為質點Qi的加速度。上式在直角坐標軸上的投影式為：
其中m i 是質點的質量，G是萬有引力常數，r ij 是 兩個質點 m i 和 m j 之間的距離，而 q i1 , q i2 , q i3 則是質點 m i 的空間坐標。所以三體問題在數學上就是這樣九個方程的二階常微分方程組再加上相應的初始條件。共19階。H.布倫斯和H.龐加萊曾證明n體問題只有10個運動積分，即3個動量積分，3個關於質心運動的積分，3個動量矩積分和1個能量積分，而且它們都是代數式。套用這10個積分可將三體問題的18階方程降低到8階，再用“消去時間法”降低到7階，又用“消去節線法”降低到6介。如為平面三體問題則可降為4階。
而N體問題的方程也是類似的一個 N2 個方程的二階常微分方程組。
當 N=1 時，單體問題是個平凡的方程。單個質點的運動軌跡只能是直線勻速運動。當 N=2 的時候 (二體問題)，問題就不那么簡單了。但是方程組仍然可以化簡成一個不太難解的方程，任何優秀的理科大學生大概都能輕易解出來。簡單來說這時兩個質點的相對位置始終在一個圓錐曲線上，也就是說如果我們站在其中一個質點上看另一個質點，那么另一個質點的軌道一定是個橢圓，拋物線，雙曲線的一支或者直線。二體問題又叫克卜勒(Johannes Kepler)問題，它是在1710年被瑞士數學家約翰伯努利(Johann Bernoulli) 首先解決的。N體問題的提出大概可以追溯到上千年前，但是這一問題的第一個完整的數學描述(象使用上面這樣的微分方程)是出現在牛頓的“自然哲學的數學原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica，1687年出版)一書中。在他的著作中，牛頓成功地運用微積分證明了克卜勒的天文學三大定律，但是奇怪的是在他的書里並沒有給出二體問題的解，儘管這兩者是緊密相關的，並且人們相信牛頓當時完全有能力自己給出二體問題的解。
至於三體問題或者更一般的N體問題(N大於二)，在被提出以後的二百年里，被十八和十九世紀幾乎所有著名的數學家都嘗試過，但是問題的進展是微乎其微的。儘管在失敗的嘗試中微分方程的理論被不斷地發展成為一門更成熟的數學分支，但是對於這些發展的源頭-----N體問題，人們還是知道的太少了。終於在十九世紀末期，也就是希爾伯特做他的著名演講前幾年，人們期待的重大突破出現了......
特殊情況
4種特殊情況：
1.三星成一直線,邊上兩顆圍繞當中一顆轉.
2.三星成三角形,圍繞三角形中心旋轉.
3.兩顆星圍繞第三顆星旋轉.
4.三個等質量的物體在一條8字形軌道上運動
N體問題的特殊解
限制性三體問題
【中文詞條】限制性三體問題
【外文詞條】restricted three-body problem
【作者】趙德滋
三體問題的特殊情況。當所討論的三個天體中﹐有一個天體的質量與其他兩個天體的質量相比﹐小到可以忽略時﹐這樣的三體問題稱為限制性三體問題。一般地把這個小質量的天體稱為無限小質量體﹐或簡稱小天體﹔把兩個大質量的天體稱為有限質量體。
三體問題
三體問題把小天體的質量看成無限小﹐就可不考慮它對兩個有限質量體的吸引﹐也就是說﹐它不影響兩個有限質量體的運動。於是﹐對兩個有限質量體的運動狀態的討論﹐仍為二體問題﹐其軌道就是以它們的質量中心為焦點的圓錐曲線。根據圓錐曲線為圓﹑橢圓﹑拋物線和雙曲線等四種不同情況﹐相應地限制性三體問題分四種類型﹕圓型限制性三體問題﹑橢圓型限制性三體問題﹑拋物線型限制性三體問題和雙曲線型限制性三體問題。若小天體的初始位置和初始速度都在兩個有限質量體的軌道平面上﹐則小天體將永遠在運動。
在小行星運動理論中﹐常按橢圓型限制性三體問題進行討論﹐脫羅央群小行星的運動就是太陽-木星-小行星所組成的橢圓型限制性三體問題的等邊三角形解的一個實例。布勞威爾還按橢圓型限制性三體問題來討論小行星環的空隙。拋物線型限制性三體問題和雙曲線型限制性三體問題在天體力學中則用得很少。人造天體出現後﹐限制性三體問題有了新的用途﹐常用於研究月球火箭和行星際飛行器運動的簡化力學模型，見月球火箭運動理論和行星際飛行器運動理論)。
研究進展
自“三體問題”被確認以來的300多年中，人們只找到了3組周期性特解。有兩位科學家一口氣找到了13組新的周期性特解，震驚了科學界。塞爾維亞物理學家米洛萬·舒瓦科夫和迪米特拉·什諾維奇發現了新的13組特解。他們在著名學術期刊《物理評論快報》上發表了論文，描述了他們的尋找方法:運用計算機模擬，先從一個已知的特解開始，然後不斷地對其初始條件進行微小的調整，直到新的運動模式被發現。這13組特解非常複雜，在抽象空間“形狀球”中，就像一個鬆散的線團。
三體問題特解的族數被擴充到了16組。這一新發現令科學界歡欣鼓舞。多年來一直從事三體問題研究的美國科學家羅伯特·范德貝說，“我非常喜歡這一成果”。另一位美國科學家理察·蒙哥馬利說:“這些結果非常美妙，而且描述非常精彩。”中國科學家周海中表示，他們的成果加深了人們對天體運動的了解，促進了天體力學和數學物理的進一步發展，尤其是對人們研究太空火箭軌道和雙星演化很有幫助。
