Θ函式

數學中,Θ函式是一種多復變特殊函式。其套用包括阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論;其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論,尤其於超弦與D-膜理論。Θ函式最常見於橢圓函式理論。相對於其“z” 變數,Θ函式是擬周期函式(quasiperiodic function),具有“擬周期性”。在一般下降理論(descent theory)中,此來自線叢條件。

基本介紹

  • 中文名:Θ函式
  • 分類:模形式、黎曼曲面
  • 套用:橢圓函式
  • 領域:數理科學
雅可比Θ函式,輔助函式,雅可比恆等式,以nome q表示Θ函式,乘積表示式,積分表示式,與黎曼ζ函式的關係,與維爾斯特拉斯橢圓函式之關係,與模形式之關係,解熱方程,與海森堡群之關係,推廣,

雅可比Θ函式

雅可比Θ函式取二變數
,其中
為任何複數,而
為上半複平面上一點;此函式之定義為:
若固定
,則此成為一周期為1的單變數
整函式的傅立葉級數
在以
位移時,此函式符合:
其中a與b為整數

輔助函式

可定義輔助函式:
其中符號依黎曼芒福德之習慣;雅可比的原文用變數
替換了
,而稱本條目中的Θ為
若設
,則我們可從以上獲得四支單以
,為變數之函式,其中
,取值於上半複平面。此等函式人稱“Θ‘常量’”(theta constant);我們可以用Θ函式定義一系列模形式,或參數化某些曲線。由“雅可比 恆等式”可得:
是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模群在Θ函式之作用;模群之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我們已有 T 作用之式。設:

以nome q表示Θ函式

我們可用變數
,代替
,來表示ϑ。設
。則ϑ可表示為:
而輔助Θ函式可表示為:
此表示式不需要指數函式,所以適用於指數函式無每一處定義域,如p進數域。

乘積表示式

雅可比三重積恆等式(Jacobi's triple product identity)中指出:若有複數
,其中
,則
此式可以用基本方法證明,如戈弗雷·哈羅德·哈代愛德華·梅特蘭·賴特共同編著的《數論導引》。
若用nome變數
表示,則有:
由此得到Θ函式的積公式:
三重積等式左邊可以擴展成:
即:
這個式子在z取實值時尤為重要。 各輔助Θ函式亦有類似之積公式:

積分表示式

雅可比Θ函式可用積分表示,如下:

與黎曼ζ函式的關係

黎曼嘗用關係式
以證黎曼ζ函式之函式方程。他寫下等式:
而此積分於替換
下不變。z非零時之積分,在赫爾維茨ζ函式一文有描述。

與維爾斯特拉斯橢圓函式之關係

雅可比用Θ函式來構造橢圓函式,並使其有易於計算之形式。他表示他的橢圓函式成兩枚上述Θ函式之商。魏爾施特拉斯橢圓函式亦可由雅可比Θ構造:
其中二次微分相對於z,而常數c使
羅朗級數(於 z = 0)常項為零。

與模形式之關係

設η為戴德金η函式。則

解熱方程

雅可比Θ函式為一維熱方程、於時間為零時符合周期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值,τ = it而t取正值。則有
此解此下方程:
於t = 0時,Θ函式成為“狄拉克梳狀函式”(Dirac comb)
其中δ為狄拉克δ函式,故可知此解是唯一的。 因此,一般解可得自t = 0時的(周期)邊界條件與Θ函式的卷積

與海森堡群之關係

雅可比Θ函在海森堡群之一離散子群作用下不變。見海森堡群之Θ表示一文。

推廣

若F為一n元二次型,則有一關連的Θ函式
其中
為整數格。此Θ函式是模群(或某適當子群)上的權n/2 模形式。在其富理埃級數
中,
稱為此模形式之“表示數”(representation numbers)。

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