《Theta函式與Appell函式及其套用》是依託西南交通大學，由楊曉梅擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：Theta函式與Appell函式及其套用
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：楊曉梅
- 依託單位：西南交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Theta 函式和Appell函式是具有擬雙周期的兩類函式。這兩類函式的研究是現代數學的重要課題，在數論，模形式，代數幾何，李超代數等數學領域都發揮著重要的作用。Theta 函式是整函式，Appell函式是亞純函式，而兩者之間具有非常密切的關係。項目申請人在攻讀博士及畢業後對Theta函式進行深入的研究，在國外重要期刊發表了3篇論文。本項目計畫在原有研究的基礎上對Theta 函式和Appell函式作一些突破性、創新性的系統研究。我們將利用代數模結構和橢圓函式理論深入研究它們和模形式、一般化的Eisenstein級數等的關係。
結題摘要
本項目以Theta函式和Appell函式為基本研究對象，利用它們的擬雙周期性，考慮相關性質。進而深入研究它們和模形式及Eisenstein級數等的關係。從它們的關係中探索一些Theta函式和模形式恆等式及Eisenstein級數展開。這些恆等式和展開式線上性拋物型偏微分方程的研究中具有重要套用。在拋物型偏微分方程的基礎上，我們也研究了更一般的分數階微分方程的求解問題，主要考慮兩種分數階方程的不適定問題：分數階擴散方程的源項識別問題和Cauchy問題。對於源項識別問題，通過考慮某一光滑區域內分數階擴散微分方程，我們首先給出一些特殊區域上Green函式的解析形式。以此作為算法基礎，主要探討了特殊點源的恢復問題，即在一定的條件下恢復微分方程源項函式的強度和位置。這類問題是典型的反問題，是不適定的，即數據的微小擾動將給解造成巨大差異。對於點源強度的恢復，我們採用Tikhonov正則化算法，而為了恢復點源位置，我們採用加權均值法。通過構造一些必要的數值例子，算法的穩定性和精確性也得到驗證。在討論Cauchy問題時，主要採用Fourier變換技術，揭示相應問題的不適定本質，在頻率域中，為了降低高頻部分對噪聲的放大，我們利用Dirichlet函式的濾子特性，對問題進行降噪處理，進而得到穩定解。相應算法的穩定性也可由相關數值例子所驗證。
