等邊三角形

定義

等邊三角形（又稱正三邊形），為三邊相等的三角形，其三個內角相等，均為60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩定的結構。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質。

第一種：可以利用尺規作圖的方式畫出正三角形，其作法相當簡單：先用尺畫出一條任意長度的線段（這條線段的長度決定等邊三角形的邊長），再分別以線段二端點為圓心、線段為半徑畫圓，二圓匯交於二點，任選一點，和原來線段的兩個端點畫線段，則這二條線段和原來線段即構成一正三角形。

第二種：在平面內作一條射線AC，以A為固定端點在射線AC上截取線段AB=等邊三角形邊長，然後保持圓規跨度分別以A,B為端在AB同側點作弧，兩弧交點D即為所求作的三角形的第三個頂點。

（1）等邊三角形是銳角三角形，等邊三角形的內角都相等，且均為60°。

（2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和角平分線互相重合。（三線合一）

（3）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或角的平分線所在的直線。

（4）等邊三角形重心、內心、外心、垂心重合於一點，稱為等邊三角形的中心。（四心合一）

（5）等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值。（等於其高）

（6）等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質。（因為等邊三角形是特殊的等腰三角形）

（7）複數性質：

A，B，C三點的複數構成正三角形，等價於

其中

；

。

（1）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）。

（2）三個內角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有一個內角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

（4）兩個內角為60度的三角形是等邊三角形。

說明：可首先考慮判斷三角形是等腰三角形。

提示：

【1】三個判定定理的前提不同，判定（1）和（2）是在三角形的條件下，判定（3）是在等腰三角形的條件下。

【2】判定（3）告訴我們，在等腰三角形中，只要有一個角是60度，不論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形。

等邊三角形的性質與判定理解：

首先，明確等邊三角形定義。三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也稱正三角形。

其次，明確等邊三角形與等腰三角形的關係。等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形。