n次方根

如果一個數的n次方（n是大於1的整數）等於a，那么這個數叫做a的n次方根。習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。

基本介紹

• 中文名：n次方根
• 外文名：nth roots of operator
• 套用學科：數學
• 相關術語：平方根
• 符號起源：源於字母“L”的變形
• 所屬領域：數學

定義

如果一個數的n次方（n是大於1的整數）等於a，那么這個數叫做a的n次方根。當n為奇數時，這個數為a的奇次方根；當n為偶數時，這個數為a的偶次方根。

求一個數a的n次方根的運算叫做開n次方，a叫做被開方數，n叫做根指數。

符號史

最早的根號“ ”源於字母“L”的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示“邊長”），沒有線括弧（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括弧，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括弧一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。）。從而，形成了我們現在所熟悉的開方運算符號 。

由於在計算機中的輸入問題，我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算

帶有根號的運算由如下公式給出:

這裡的a和b是正數。

對於所有的非零複數a，有n個不同的複數b使得b=a，所以符號 不能無歧義的使用。n次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式被變換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是

例如:

如果你要做加法或減法，則你應當注意下列概念是重要的。

如果你理解了如何去簡化一個根式表達式，則加法和減法簡單的是群的“同類項”問題。例如

不盡根數

經常簡單的留著數的n次方根不解（就是留著根號）。這些未解的表達式叫做“不盡根數”（surd），它們可以接著被處理為更簡單的形式或被安排相互除。

如下恆等式是操縱不盡根數的基本技術:

找到所有方根

任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式ae(參見歐拉公式)。接著所有的n次方根給出為:

對於 ，這裡的 表示a的主n次方根。

正實數

所有x=a或a的n次方根，這裡的a是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:

對於 ，這裡的 表示a的主n次方根。

解多項式

曾經猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程

的解不能用根號表達。

算法

對於正數A，可以通過以下算法求得 的值：

（1）猜一個 的近似值，將其作為初始值 ，

（2）設 。記誤差為 ，即，

（3）重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： 。