單位根

數學上，n次單位根是n次冪為1的複數。它們位於複平面的單位圓上，構成正n邊形的頂點，其中一個頂點是1。

基本介紹

• 中文名：單位根
• 外文名：unit root
• 定義：x^n=1(n為正整數)x為單位根
• 相關術語：本源根
• 套用學科：數學
• 性質：n次單位根的模為1

定義

這方程的複數根 z為n次單位根。

單位的 n次根有n個：

。

單位的n次根以乘法構成n階循環群。單位根（unit root）設n 是正整數，當一個數的n 次乘方等於1 時，稱此數為n 次“單位根”。在複數範圍內，n 次單位根有n 個。例如，1、－1、i、－i 都是4次單位根。確切的說，單位根指模為1的根，一般的x的n個單位根可以表示為： ，其中：k=0,1,2,..,n-1 ，i是虛數的單位。它的生成元是單位的n次本源根。單位的n次本源根是 ，其中k和n互質。單位的n次本源根數目為歐拉函式φ（n）。

例子

單位的一次根有一個：1。

單位的二次根有兩個：+1和-1，只有-1是本原根。

單位的三次根是

其中i複數單位；除1外都是本源根。

單位的四次根是

{1,+i,-1,-i}

其中 + i和 - i是本源根。

性質

性質一

n次單位根的模為1，即|ε_k|=1

性質二

兩個n次單位根ε_j與ε_k 的乘積還是一個n次單位根，且ε_jε_k =ε_j+k

推論1：ε_j^-1=ε_-j

推論2：

ε_k^m=ε_mk

推論3：

若k除以n的餘數為r，則ε_k=ε_r

註：它說明ε_k等價於r=0

推論4：

任何一個單位根都可以寫成ε₁的冪，即ε_k=ε₁^k

說明：除了ε₁，還有沒有另一個單位根ε_k使任何一個單位根都是ε_k的冪，回答是肯定的，並稱這樣的根為n次本原根，n次原根。從而所有n次單位根還可以寫作

ε₁,ε₁²,…,ε₁ⁿ（ε₀=1）

推論5：

一個n次單位根的共軛也是一個n次單位根，即ε_k=ε_n-k（‘表示共軛）

因為ε_kε_k=|ε_k|²，ε_k=1/ε_k=ε_-k=ε_n-k （由推論3）

註：由上證明看到1/ε_k=ε_k^'，說明所有虛的n次單位根都成對共軛

推論6：

對任意整數k,h，有ε_k^h=ε_h^k

性質三

A=1+ε₁^m+ε₂^m+…+ε_n-1^m當n|m時，A=n，否則A=0

推論1：

推論2：設ε_k≠1，則

性質四

全部單位根將複平面上單位圓n等分。

和式

當n不小於 2時， n次單位根總和為 0。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的x_n-1項係數為零得出。