單位根

單位根

數學上,n次單位根是n次冪為1的複數。它們位於複平面的單位圓上,構成n邊形的頂點,其中一個頂點是1。

基本介紹

  • 中文名:單位根
  • 外文名:unit root
  • 定義:x^n=1(n為正整數)x為單位根
  • 相關術語:本源根
  • 套用學科:數學
  • 性質:n次單位根的模為1
定義,例子,性質,和式,

定義

這方程的複數根 z為n次單位根
單位的 n次根有n個:
單位的n次根以乘法構成n階循環群單位根(unit root)設n 是正整數,當一個數的n 次乘方等於1 時,稱此數為n 次“單位根”。在複數範圍內,n 次單位根有n 個。例如,1、-1、i、-i 都是4次單位根。確切的說,單位根指模為1的根,一般的x的n個單位根可以表示為:
,其中:k=0,1,2,..,n-1 ,i是虛數的單位。它的生成元是單位的n次本源根。單位的n次本源根是
,其中k和n互質。單位的n次本源根數目為歐拉函式φ(n)。

例子

單位的一次根有一個:1。
單位的二次根有兩個:+1和-1,只有-1是本原根
單位的三次根是
其中i複數單位;除1外都是本源根。
單位的四次根是
{1,+i,-1,-i}
其中 + i和 - i是本源根。

性質

性質一
n次單位根的模為1,即|εk|=1
性質二
兩個n次單位根εj與εk 的乘積還是一個n次單位根,且εjεkj+k
推論1:εj-1=ε-j
推論2:
εkmmk
推論3:
若k除以n的餘數為r,則εkr
註:它說明εk等價於r=0
推論4:
任何一個單位根都可以寫成ε1的冪,即εk1k
說明:除了ε1,還有沒有另一個單位根εk使任何一個單位根都是εk的冪,回答是肯定的,並稱這樣的根為n次本原根,n次原根。從而所有n次單位根還可以寫作
ε112,…,ε1n(ε0=1)
推論5:
一個n次單位根的共軛也是一個n次單位根,即εkn-k(‘表示共軛)
因為εkεk=|εk|2,εk=1/εk-kn-k (由推論3)
註:由上證明看到1/εkk',說明所有虛的n次單位根都成對共軛
推論6:
對任意整數k,h,有εkhhk
性質三
A=1+ε1m2m+…+εn-1m當n|m時,A=n,否則A=0
推論1:
推論2:設εk≠1,則
性質四
全部單位根將複平面單位圓n等分。

和式

當n不小於 2時, n次單位根總和為 0。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數
第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的重心在原點。
還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的xn-1項係數為零得出。

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