n次單位根

基本介紹

在複數範圍內，1的n(n∈N)個不同的n次方根都稱為n次單位根，簡稱單位根。它們是

或

n次單位根是方程ωⁿ-1=0的n個不同的根，除ω₀=1外，其餘n-1個也是n-1次方程ω^n-1+ω^n-2+…+ω+1=0的n-1個不同根。

n次單位根有下列性質：

1.對於任何m∈Z

或

都是n次單位根，即

，但不同的單位根只有n個。例如取m=0，1，2，…，n-1時，就得到n個不同的n次單位根。當整數m=qn+k(q∈Z⁺，k∈{0，1，2，…，n-1})時，ω_m=ω_qn+k=ω_k。

2.n次單位根的模為1，即|ω_m|=1。

3.兩個n次單位根ω_i，ω_j的乘積仍是一個n次單位根，且ω_i·ω_j=ω_i+j(i，j為任意整數)。由此可得：

1) (ω_i)^-1=ω_-i。

2) (ω_k)^m=ω_mk(m，k為任意整數，當m=0時，(ω_k)⁰=1=ω₀)。

3) ω_k=ω_l的充分必要條件是k與l除以n後餘數相同，即k與l的差是n的倍數。

4) 任何一個單位根都可以寫成ω₁的冪，如ω_k=(ω₁)^k，有這種性質的n次單位根ω₁稱為n次本原單位根，簡稱n次原根或原根，當p與n互素且1≤p<n時，

都是n次原根。

5) 一個n次單位根的共軛複數也是一個n次單位根，表示為

。

6) 對任何整數k，l有(ω_k)^l=(ω_l)^k。

4.設m是整數，則

由此可知：

1) 全部單位根的和為0，即

2) 設n次單位根ω_k≠1，則

5.全部單位根把複平面上的單位圓周(|z|=1)n等分，構成了外接圓半徑為1的正n邊形的頂點，其中一個頂點是ω₀(1，0)。