共軛複數

共軛複數，兩個實部相等，虛部互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)。當虛部不為零時，共軛複數就是實部相等，虛部相反,如果虛部為零，其共軛複數就是自身（當虛部不等於0時也叫共軛虛數）。複數z的共軛複數記作z（上加一橫），有時也可表示為Z*。同時, 複數z（上加一橫）稱為複數z的復共軛(complex conjugate)。

基本介紹

• 中文名：共軛複數
• 外文名：conjugate complex number
• 類別：定律
• 類型 ：概念
• 學科：數學
• 套用：初等幾何問題

公式

根據定義，若z=a+bi(a，b∈R)，則 =a－bi（a,b∈R)。共軛複數所對應的點關於實軸對稱（詳見附圖）。兩個複數：x+yi與x-yi稱為共軛複數，它們的實部相等，虛部互為相反數。在複平面上，表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱，而這一點正是"共軛"一詞的來源。兩頭牛平行地拉一部犁，它們的肩膀上要共架一個橫樑，這橫樑就叫做"軛"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加個"一"就表示x-yi，或相反。

共軛複數有些有趣的性質：

另外還有一些四則運算性質。

代數特徵

（1）|z|=||；

（2）z+=2a（實數），z－=2bi；

（3）z· =|z|²=a²+b²（實數）。

加法法則

複數的加法法則：設z₁=a+bi,z₂=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

減法法則

兩個複數的差為實數之差加上虛數之差（乘以i）

即：z₁-z₂=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

乘法法則

複數的乘法法則：把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i² = -1，把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。

即：z₁z₂=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac－bd)+(bc+ad)i.

除法法則

複數除法定義：滿足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的複數x+yi(x,y∈R）叫複數a+bi除以複數c+di的商運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，再用乘法法則運算。

即：

開方法則

若zⁿ=r(cosθ+isinθ），則 （k=0，1，2，3……n-1）

共軛法則

z=x+iy的共軛，標註為z*就是共軛數z*=x-iy

即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x²-xyi+xyi-y²i²=x²+y²

即，當一個複數乘以他的共軛數，結果是實數。

z=x+iy 和 z*=x-iy 被稱作共軛對。

運算特徵

（1）

（2）

（3）

（4） (z₂≠0)

總結：和（差、積、商）的共軛等於共軛的和（差、積、商）。

模的運算性質

① | z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|

②┃| z₁|－| z₂|┃≤| z₁+z₂|≤| z₁|+| z₂|

③| z₁－z₂| = | z₁z₂|，是複平面的兩點間距離公式，由此幾何意義可以推出複平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及拋物線

表示複數z的共軛複數，表示複數z的共軛複數的共軛複數，即=z。