奇異值分解(數學概念奇異值分解的英文縮寫)

基本介紹

奇異值分解在某些方面與對稱矩陣或Hermite矩陣基於特徵向量的對角化類似。然而這兩種矩陣分解儘管有其相關性，但還是有明顯的不同。譜分析的基礎是對稱陣特徵向量的分解，而奇異值分解則是譜分析理論在任意矩陣上的推廣。

假設M是一個m×n階矩陣，其中的元素全部屬於域 K，也就是實數域或複數域。如此則存在一個分解使得

其中U是m×m階酉矩陣；Σ是半正定m×n階對角矩陣；而V*，即V的共軛轉置，是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作M的奇異值分解。Σ對角線上的元素Σi，其中Σi即為M的奇異值。

常見的做法是為了奇異值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一確定了。（雖然U和V仍然不能確定）

直觀的解釋

在矩陣M的奇異值分解中

·U的列(columns)組成一套對M的正交"輸入"或"分析"的基向量。這些向量是MM*的特徵向量。

·V的列(columns)組成一套對M的正交"輸出"的基向量。這些向量是M*M的特徵向量。

·Σ對角線上的元素是奇異值，可視為是在輸入與輸出間進行的標量的"膨脹控制"。這些是M*M及MM*的奇異值，並與U和V的列向量相對應。

奇異值和奇異向量, 以及他們與奇異值分解的關係

一個非負實數σ是M的一個奇異值僅當存在Km 的單位向量u和Kn的單位向量v如下：

其中向量u 和v分別為σ的左奇異向量和右奇異向量。

對於任意的奇異值分解，矩陣Σ的對角線上的元素等於M的奇異值。U和V的列分別是奇異值中的左、右奇異向量。因此，上述定理表明：

（1）一個m × n的矩陣至多有 p = min(m,n)個不同的奇異值；

（2）總是可以找到在Km 的一個正交基U，組成M的左奇異向量；

（3）總是可以找到和Kn的一個正交基V，組成M的右奇異向量。

如果一個奇異值中可以找到兩個左（或右）奇異向量是線性相關的，則稱為退化。

非退化的奇異值具有唯一的左、右奇異向量，取決於所乘的單位相位因子eiφ（根據實際信號）。因此，如果M的所有奇異值都是非退化且非零，則它的奇異值分解是唯一的，因為U中的一列要乘以一個單位相位因子且同時V中相應的列也要乘以同一個相位因子。

根據定義，退化的奇異值具有不唯一的奇異向量。因為，如果u1和u2為奇異值σ的兩個左奇異向量，則兩個向量的任意規範線性組合也是奇異值σ一個左奇異向量，類似的，右奇異向量也具有相同的性質。因此，如果M 具有退化的奇異值，則它的奇異值分解是不唯一的。

因為U 和V 向量都是單位化的向量, 我們知道U的列向量u1,...,um組成了K空間的一組標準正交基。同樣，V的列向量v1,...,vn也組成了K空間的一組標準正交基(根據向量空間的標準點積法則)。

線性變換T：即K → K，把向量Nx變換為Mx。考慮到這些標準正交基，這個變換描述起來就很簡單了：T(vi) = σi ui, for i = 1,...,min(m,n)，其中σi 是對角陣Σ中的第i個元素；當i > min(m,n)時，T(vi) = 0。