非對稱矩陣錐互補問題理論、算法的研究及其套用

《非對稱矩陣錐互補問題理論、算法的研究及其套用》是依託瀋陽航空航天大學，由王莉擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：非對稱矩陣錐互補問題理論、算法的研究及其套用
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：王莉
• 依託單位：瀋陽航空航天大學

項目摘要

近年來，矩陣最佳化問題有著越來越重要的套用，對稱矩陣錐互補問題即半定互補問題的研究日趨完善，而非對稱矩陣錐互補問題作為矩陣規劃的重要組成部分，對其研究有著重要意義。本項目擬研究非對稱矩陣錐互補問題理論、算法及其套用。內容包括：(1)研究非對稱矩陣錐互補函式及其性質，基於它們得到半光滑方程組。計算半光滑方程組中映射的B-微分，並證明B-微分的非奇異性，得到半光滑牛頓法的收斂性。套用半光滑牛頓法求解具體非對稱矩陣錐互補問題，得到數值結果。(2)研究非對稱矩陣錐光滑函式及其性質。基於求解與非對稱矩陣錐互補問題的等價光滑方程組，得到光滑化牛頓法。套用光滑化牛頓法求解具體非對稱矩陣錐互補問題，得到數值結果。(3)研究非對稱矩陣錐互補問題的效益函式及基於效益函式的無約束最佳化方法。運用共軛梯度法、擬牛頓法等求解無約束最佳化問題。套用基於效益函式的無約束最佳化方法求解具體非對稱矩陣錐互補問題，得到數值結果。

結題摘要

非對稱矩陣錐互補問題作為矩陣規劃的重要組成部分，對其研究有著重要意義。本項目首先研究了廣義非對稱矩陣錐互補問題的效益函式，得到了投影殘差函式、間隙函式、正則化的間隙函式、隱拉格朗日函式、Luo和Tseng函式五類效益函式，並得到了這些效益補函式凸或可微的條件，為非對稱矩陣錐互補問題算法的研究及其套用奠定了基礎。到目前為止，最佳化界公認的在有限維空間研究互補問題與變分不等式的理論與算法的集大成者為Facchinei和Pang的專著“Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems”，該專著收集了有限維空間中互補問題與變分不等式問題的主要成果，但是該專著沒有提及求解變分不等式的微分方程方法。而微分方程方法和人工神經網路方法密切相關，是非常值得研究的數值方法，可求解複雜結構的變分不等式問題和均衡規劃問題。本項目研究了具有約束條件的均衡規劃問題的微分方程方法，運用投影運算元和拉格朗日函式可將具有約束條件的均衡規劃問題進行等價變換，建立了二階微分方程系統，證明了二階微分方程系統的聚點是具有約束條件的均衡規劃問題的解，給出了三個數值算例說明微分方程方法的有效性。在此基礎上，研究了具有不等式約束的變分不等式問題的微分方程方法，通過一系列的等價變換建立了一階微分方程系統，證明了一階微分方程系統的全局收斂性。最後，在套用精確罰函式方法求解具有不等式約束的最佳化問題的過程中，得到了到正卦限上的投影的l1範數上圖的思想。本項目定義了到正卦限上的投影的l1範數的上圖，並研究了上圖的性質，主要包括：計算上圖的對偶錐、極錐、切錐、法錐，到上圖的投影運算元的計算、臨界錐、臨界錐的仿射包、在投影點的切錐的線性化空間、上圖的二階切集，到上圖的投影運算元的方嚮導數和B微分。這些性質的研究將會對約束集合為到正卦限上的投影的l1範數的上圖的錐規劃問題的算法及靈敏性和穩定性分析的研究奠定基礎，從而為l1精確罰函式方法的改進做好準備。