《非線性二階錐最佳化與互補問題的FB-型算法研究》是依託華南理工大學，由潘少華擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性二階錐最佳化與互補問題的FB-型算法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：潘少華
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
二階錐最佳化與互補問題是一類特殊的對稱錐規劃，然而它具有獨立的理論研究價值，在工程設計、控制、金融、連續布局最佳化、魯棒最佳化、以及組合最佳化等領域中有著廣泛的套用．本課題擬開展對該問題的Fischer-Burmeister方程類型（簡稱FB型）算法研究：（1）探討FB型方程運算元的B-次微分、方嚮導函式、廣義雅可比及其非奇異性；（2）探討FB型效益函式的連續可微性、水平集有界性、穩定點的最優性、以及誤差界性質；（3）建立相應的FB型非光滑和光滑化算法、並分析新算法的收斂性和收斂速率；（4）對新算法編寫程式代碼並進行數值實驗．該研究成果不僅為求解二階錐最佳化與互補問題提供一種實用有效的計算工具，而且還能夠豐富其理論，具有重要的理論意義和套用價值．
結題摘要
本項目開展了二階錐最佳化與互補問題的FB型算法研究，如期完成了項目原計畫的研究內容，在FB型算法的理論及數值研究方面取得了一系列豐富的研究成果：（1）成功地刻畫了FB型方程運算元的B-次微分、方嚮導函式；刻畫了光滑FB型方程運算元在其零點處的B-次微分、方嚮導函式；針對一般非線性二階錐最佳化，在強二階充分條件及約束非退化下，建立了FB型方程運算元的Clarke廣義雅可比的非奇異性；（2）分析了參數FB效益函式和廣義FB效益函式的連續可微性、水平集有界性、穩定點最優性、以及誤差界性質；（3）基於FB型方程運算元的B-次微分及Clarke廣義雅可比的非奇異性，建立了求解二階錐最佳化與互補問題的Gauss牛頓法、半光滑牛頓法、以及光滑化牛頓法；基於FB型效益函式的連續可微型、穩定點最優性、誤差界等性質，建立了求解二階錐最佳化與互補問題的效益函式法，並特別分析了一類無導數下降算法的全局收斂性和Q-線性收斂速率；（4）對算法編寫了程式代碼 (見math.ntnu.edu.tw/~jschen)，並套用標準的二階錐規劃考題和隨機產生的例子測試了算法的有效性。特別地，所建立的半光滑牛頓法已被成功地套用於解決工程力學中的三維摩擦接觸問題和彈塑性問題。作為本項目的延伸，我們一方面成功地刻畫了FB矩陣方程運算元的方嚮導函式和B-次微分，並針對一般非線性半定錐最佳化問題，在強二階充分條件及約束非退化下，建立了其廣義雅可比的非奇異性；另一方面，建立了FB對稱錐效益函式的光滑性、水平集有界性、穩定點最優性、以及與NR對稱錐效益函式的同階增長性。本項目對FB型二階錐和半定錐方程運算元的方嚮導函式、B-次微分、以及Clarke廣義雅可比的刻畫不僅豐富了對稱錐最佳化與互補問題的理論，而且FB型方程運算元的非奇異性條件首次保證了FB型半光滑和光滑化牛頓算法在非嚴格互補條件下的局部超線性（或二次收斂）速率。另外，FB與NR對稱錐效益函式的同階增長性不僅回答了著名最佳化專家Paul. Tseng 在1998年提出的一個公開問題，而且還為建立FB型對稱錐效益函式的全局誤差界提供了一條可行途徑。
