光滑技術在大規模矩陣最佳化問題中的套用研究

《光滑技術在大規模矩陣最佳化問題中的套用研究》是依託西安電子科技大學，由盧楠擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：光滑技術在大規模矩陣最佳化問題中的套用研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：盧楠
• 依託單位：西安電子科技大學

中文摘要

大規模矩陣最佳化問題的數值計算，是當今計算數學和科學工程計算研究的重大課題，其研究具有重要的理論意義和廣泛的套用價值。現有的求解方法有兩類：一類是內點法,將問題轉化為半定規劃，再用內點法求解，這種方法在問題規模很大時幾乎不可行；另一類是一階鄰近點算法和增廣Lagrangian方法。本項目考慮二階鄰近點算法，內層子問題的求解採用光滑型方法。內層子問題目標函式的一階導數中出現了鄰近連道蘭腳點映射，它是非光滑的。基於閉凸錐上的光滑技術，本項目以凸分析和矩陣分析理論為工具，研究鄰近點映射的性質，並結合Moreau分解等，給出鄰近點映射的等價表達式，通過對等價的表達式或者由鄰近點映射轉化成放慨擊的度量投影進行光滑處理，實現鄰恥習只求近點映射的光滑逼近，從而設計一種光滑二階鄰近點道霸嫌算法求解大規模矩陣最佳化問題。選取合適的參數，給出可驗證的終止規則，以保證算法有好的收斂性，編寫程式對大規模矩陣最佳化問題進行數值計算。

結題摘要

矩陣最佳化問題包括矩陣錐規劃、半定規劃問題、秩極小化問題、矩陣完全問題等數值解法的理論研究、算法設計和軟體研製，是當今計算數學和科學工程計算研究的重大課題，是科學與工程計算的基礎和重要組成部分，其研究具有重要的理論意義和廣泛的套用價值。現有的求解方法有兩類：一類是內點法,將問題轉化為半定規劃，再用內點法求解，這種方迎企法在問題規模很大時幾乎不可行；另一類是鄰近點算法和增廣Lagrangian方法。設計二階鄰近點算法求解矩陣最佳化問題時，內層子問題目標函式的一階導數中出現了鄰近點映射。本項目研究鄰近點映射的性質，對其進行光滑處理，實現其光滑逼近；對與鄰近點映射相關的最佳化問題，設計光滑型算法求解。主要包括以下幾方面研究內容：首先針對對稱錐上的投影這個鄰近點映射，項目組研究了相應的理論性質，設計了光滑型算法求解其相關的最佳化問題----對稱錐上的非單調線性互補問題，並證明了算法是全局收斂和局部殃紋拜二次收斂的。其次針對凸可行問題，利用度量投影這個鄰近點映射及其光滑逼近，項目組設計了光滑型方法求解，在每次疊代時至多求解一個線性方程組，算法是全局線性收斂和局部二次收斂的。最後針對NP-難的奇異值超過1的絕對值方程，利用n維實向量空間上的投影這個鄰近點映射，設計了改進的廣義牛頓法求解，算法全局收斂且局部二次收斂。在項目進行中，考慮到有些問題需要進行參數估計和尋求全局極小點，一方面，項目組提出了基於均值漂移模型的HIV動態統計診斷，用於在存在促腳想一些噪聲數據特別是一些異常值的噪聲數據的情形下進行參數估計；另一方面，項目組提出了一類參數線性鬆弛算法，用於求非凸二次規劃的全局極小點，該算法可用於熱交換網路的設計。光滑型方法和鄰近點算法的結合是我們下一步的目標。