《最優低秩相關係數矩陣問題的回拉型可行方法》是依託上海電力大學，由竺筱晶擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：最優低秩相關係數矩陣問題的回拉型可行方法
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：竺筱晶
- 依託單位：上海電力大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
最優低秩相關係數矩陣問題是近年來矩陣最佳化領域的研究熱點，它來源於金融，同時在組合最佳化、機器學習、數據分析等領域也有重要作用。前期工作表明，利用低秩分解可將原問題簡化為一個規範化約束最佳化問題，然後基於其可行域的流形結構，能發展出一些高效的可行算法。流形上的回拉方法是可行方法的關鍵，這是一種從切叢到流形的映射。矩陣指數映射是一個經典的回拉，但不易於計算。本項目擬將矩陣函式的逼近技術結合到指數回拉，構造出高效而簡易的一階可行疊代格式；同時，揭示矩陣指數逼近與回拉映射之間的深刻聯繫；並在此基礎上，利用多維濾子技術設計出全局收斂的可行算法。本項目對於最優低秩相關係數矩陣算法的深入研究具有重要意義，也為流形上最佳化算法的研究提供了新視角。
結題摘要
最優低秩相關係數矩陣問題是近年來套用數學界非常關注的一個問題，不僅因其在利率衍生產品投資組合的價值評估和風險管理中具有重要套用，而且因其本身蘊含豐富的理論價值。由於可行域的複雜性，該問題在數值上不易求解。非光滑算法是一類傳統方法，如孫德鋒教授的majorized罰函式法和戚厚鐸教授的半光滑牛頓法。另一類有效且新穎的方法是流形上的最佳化算法，因為可行域在Gram分解後可轉化為若干球面的乘積。本項目通過對最優低秩相關係數矩陣問題的研究，開發出一些球面約束最佳化問題的一階回拉型算法，進而將其推廣到Stiefel流形上。需注意單位球面是特殊的Stiefel流形。 本項目第一個方面的貢獻是發展了Stiefel流形上的梯度型算法：利用矩陣指數的Pade逼近構造出新的回拉映射，針對大規模高秩問題結合Lanczos算法建立了子空間梯度下降疊代格式。目前Stiefel流形上的回拉方法限於QR分解、極分解和凱萊變換三類。我們發現的矩陣指數Pade逼近形式的回拉映射豐富了這方面的理論。此外，高效求解大規模高秩矩陣最佳化問題一直是個非常困難的課題。我們採用的子空間方法給出了一種解決這類困難的新思路。這部分工作已向Optimization投稿。 本項目第二個方面的貢獻是發展了Stiefel流形上的共軛梯度法：得到兩個新的以凱萊變換式為關聯回拉的向量運輸公式及其低秩情形的簡化形式，證明了第一種向量運輸滿足Ring-Wirth範數非擴張條件而第二種向量運輸滿足等距性，討論了兩種向量運輸在幾何與構造上的聯繫，並將戴彧虹教授的非單調共軛梯度法推廣到了一般黎曼流形上。新的向量運輸具有極其重要的理論價值，因為黎曼流形上共軛梯度法的全局收斂性取決於Ring-Wirt範數非擴張條件，然而傳統的向量運輸公式如QR分解與極分解的微分並不滿足此條件。此外，數值結果也表明了新的向量運輸在計算效率和穩定性兩方面整體上優於現存所有基於QR分解與極分解微分的向量運輸。這部分工作已線上發表於Computational Optimization and Applications。
