電磁場的數學表述

電磁場的數學表述是指物理學家時常會用三維的矢量場來表達電場和磁場。這些矢量場在時空的每一點都有一個定義值，被認為是空間坐標和時間坐標的函式。電場和磁場分別寫為和。

定義

假設只有電場存在，而且不含時間，則電場稱為靜電場。類似地，假設只有磁場存在，而且不含時間，則電場稱為靜磁場。但是，假若其中任何一個場是含時的，則電場和磁場都必須一起以耦合的電磁場來計算。

自由空間的電場和磁場，不論是在靜電學裡，靜磁學裡或電動力學里，都遵守麥克斯韋方程組：

自由空間的麥克斯韋方程組

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律
高斯磁定律
法拉第感應定律
麥克斯韋-安培定律

以下表格給出每一個符號所代表的物理意義，和其單位：

物理意義和單位

符號	物理意義	國際單位
	電場	伏特/米，牛頓/庫侖
	磁場	特斯拉，韋伯/米，伏特-秒/米
	散度算符	/米
	旋度算符
	對於時間的偏導數	/秒
	曲面積分的運算曲面	米
	路徑積分的運算路徑	米
	微小面元素矢量	米
	微小線元素矢量	米
	真空電容率，又稱為電常數	法拉/米
	真空磁導率，又稱為磁常數	亨利/米，牛頓/安培
	總電荷密度	庫侖/米
	在閉曲面裡面的總電荷	庫侖
	總電流密度	安培/米
	穿過閉迴路所包圍的曲面的總電流	安培/米
	穿過閉迴路所包圍的曲面的磁通量	特斯拉-米
	穿過閉迴路所包圍的曲面的電通量	庫侖-米

對於線性物質，麥克斯韋方程組內的電常數和磁常數，必須分別改換為線性物質的電容率和磁導率。有些更複雜的物質，由於電磁場的作用，會給出更複雜的回響。這些性質可以用張量來表示。假若電磁場變化很快，張量可能會含時間。假若電磁場的場振幅很大，張量也可能會跟電磁場有關，顯示出非線性或非局域的物質回響。更詳盡細節，請參閱光的色散和非線性光學。

1865年，詹姆斯·麥克斯韋發表了麥克斯韋方程組的完整形式於論文《電磁場的動力學理論》。後來，物理學家發現這組方程居然與狹義相對論相容。更令人驚訝的是，兩個處於不同參考系的觀察者，所觀察到的由兩個不同物理現象產生的明顯的巧合，按照狹義相對論，可以推論出並不是巧合。這論點非常重要，阿爾伯特·愛因斯坦的1905年講述狹義相對論的論文《論動體的電動力學》用了大半篇幅解釋怎樣轉換麥克斯韋方程組。

當從一個參考系S₁轉換至另外一個以相對速度移動的參考系S₂時，可以用洛倫茲變換來變換電場和磁場，其方程為

其中，和是參考系S₂的電場和磁場，是洛倫茲因子，是光速。

假設相對運動是沿著x-軸，，則每一個分量的轉換方程分別為

很值得注意的一點是，假設對於某一個參考系，電場或磁場其中有一個場是零。這並不意味著，對於所有其他參考系，這個場都等於零。這可以從方程看出，假設，則

除非，電場絕對不會等於零。

導線移動於不均勻磁場

這並不意味分別處於兩個不同參考系的觀察者，所觀察到的是兩種完全不同的事件；它們所觀察到的是以兩種不同方式描述的同樣的事件。愛因斯坦在他的1905年論文裡所提到的移動中的磁鐵與導體問題，是個經典例子。如圖右所示，假若環狀導線固定不動，而磁鐵以等速移動，則穿過環狀導線的磁通量會隨著時間而改變。按照法拉第電磁感應定律，會產生感應電動勢和伴隨的電場，因而造成電流流動於環狀導線。可是，假若磁鐵固定不動，改由環狀導線以等速移動，則在環狀導線內部的電荷會因為感受到勞倫茲力而產生動生電動勢和伴隨的電場，因而造成電流流動於環狀導線。假設，對於這兩個案例，移動的速率相等，而方向相反。則感應出的電流是一樣的。

勢場表述

在解析有些電磁學問題時，物理學家會暫時不計算電場或磁場，而先計算伴隨的電勢或磁勢。電勢為標量，又被稱為純勢；磁勢為矢量，又被稱為矢勢，或磁矢勢。從這些位勢，可以得到電場和磁場：

將這兩個方程代入麥克斯韋方程。法拉第電磁感應定律和高斯磁定律的方程都會約化為恆等式。另外兩個麥克斯韋方程變得比較複雜：

這兩個勢場方程組合起來，具有與麥克斯韋方程組同樣的功能和完整性。原本的麥克斯韋方程組需要解析六個分量。因為電場和磁場各有三個分量。勢場表述只需要解析四個分量，因為電勢只有一個分量，磁矢勢有三個分量。可是，勢場表述涉及了二次微分，方程也比較冗長。

值得慶幸地是有一種方法可以簡化這兩個勢場方程。由於勢場不是唯一定義的，只要最後計算得到正確的電場和磁場就行。這性質稱為規範自由。對於這兩個勢場方程，選擇參數為位置和時間的任意函式，勢場可以改變為

電場和磁場不變：

這規範自由可以用來簡化方程。最常見的規範自由有兩種。一種是庫侖規範（Coulomb gauge），選擇的值來使得。這對應於靜磁學案例。這選擇導致兩個勢場方程分別變為

庫侖規範有幾點值得注意之處。第一點，解析電勢很簡單，這電勢方程的形式為泊松方程。第二點，解析磁矢勢很困難，這是庫侖規範的一大缺點。第三點，庫侖規範與狹義相對論不很相容，當轉換參考系時，洛倫茲變換會撤除原本參考系的庫侖規範。每做一次洛倫茲變換，就要再重新做一次庫侖規範。第四點比較令人困惑，隨著在某一局域的源電荷的改變，在任何位置的電勢的改變是瞬時的，這現象稱為超距作用（Action at a distance）。

例如，假使於下午一時，在紐約的電荷稍微移動了一下，那么在完全同樣時間，一位假想觀察者在上海會測量出電勢有所改變。這現象似乎違背了狹義相對論，因為狹義相對論禁止以超過光速之速度來傳輸信息、信號或任何實體。然而，由於沒有任何觀察者曾經測量到電勢，他們只能測量到電場，而電場是由電勢和磁矢勢共同決定的。所以，由於磁矢勢方程為含時的，電場遵守狹義相對論要求的速度限制。所有可觀測量都與相對論一致。

另外一種常見的規範自由是洛倫茨規範。選擇的值來使得。這選擇導致兩個勢場方程分別變為

算符稱為達朗白算符。這兩個勢場方程為非齊次波動方程，其右邊項目是波源函式。勢場方程有兩種解答：一種是源頭組態為未來時間（源電荷或源電流是設定於未來時間）的超前勢，另外一種是源頭組態為過去時間（源電荷或源電流是設定於過去時間）的推遲勢。因為不符合物理的因果關係，不具有任何物理意義，物理學家時常會刪除第一種解答，偏好選擇第二種解答。

值得強調的是，洛倫茨規範並不比其它規範更正確，勢場本身是無法觀測到的（當然，不考慮像阿哈諾夫－波姆效應的例外）。勢場展示的任何非因果關係都會消失於可觀測到的電場或磁場。只有電場或磁場是具有物理意義的物理量。

張量場表述

主條目：電磁張量

電場和磁場可以綜合起來，形成一個反對稱性二階共變張量，稱為電磁張量，寫為。電磁張量將電場和磁場聚集在一起，以方程表達：

使用閔可夫斯基度規，

將的下標拉高為上標，可以得到反變張量。採用愛因斯坦求和約定，這程式表達為

給予一個階反對稱共變張量，則其階對偶張量（dual tensor）是一個反對稱反變張量：

其中，是維列維-奇維塔符號。

根據這定義，的二階對偶張量是

換一種方法，將的項目做以下替換：、，也可以得到二階對偶張量。

給予兩個慣性參考系、；相對於參考系，參考系以速度移動。對於這兩個參考系，相關的洛倫茲變換矩陣是

其中，是洛倫茲因子，是貝塔因子。

對於這兩個參考系，一個事件的四維位置分別標記為、。那么，這兩個四維位置之間的關係為

在相對論里，使用洛倫茲變換，可以將電磁張量和其對偶張量從一個參考系變換到另外一個參考系，以方程表達

麥克斯韋方程組的張量標記

主條目：經典電磁理論的共變形式

使用張量標記，麥克斯韋方程組的形式為

其中，和分別是和對於曲線坐標（curvilinear coordinates）的共變導數，是四維電流密度。

假設為直角坐標，，則共變導數和分別以方程表達為

仔細分析，設定，則可從的麥克斯韋方程得到高斯定律的方程：

又可從的麥克斯韋方程得到高斯磁定律的方程：

另外的的三條麥克斯韋方程，對應於麥克斯韋-安培定律的方程：

而的三條麥克斯韋方程，對應於法拉第電磁感應定律的方程：