離散時滯系統

當前狀態的變化率不僅與當前時刻的狀態有關，而且也依賴於過去某時刻或某段時間的狀態，這種特性稱為時滯。

離散時滯系統指一切在時間、空間上不連續的具有時滯特性的系統。

時滯的存在，一方面使得系統的動態性能變差甚至導致系統不穩定。另一方面，在某些控制系統中人們又可以利用時滯改善控制效果。

基本介紹

• 中文名：離散時滯系統
• 外文名：Discrete time-delay system
• 基礎：離散系統和時滯系統
• 類別：控制科學與工程
• 分類：線性與非線性
• 套用：生態、航空、航天、經濟等領域

基本概念

離散系統

早在五十年代，由於數字計算機在工程和科學上套用的增加，離散控制系統的研究己經引起了人們的注意，當時的工作主要是套用z變換研究採樣數據系統。近三十年來，離散控制系統的研究已經有了較大的發展。尤其是近幾十年來，隨著科學技術的高速發展，人類社會進入到信息化，工業技術發生了根本性變革，出現了一大批高新技術領域世界範圍的微電子技術革命浪潮，極大地推動了微處理機和微型計算機在控制系統種的套用。由於數字計算機進行計算機時在時間上是離散的，因此當一個系統用數字計算機進行控制或汽諒煮用數字計算機模擬、分析、設計控制系統時，需要把時間變數考慮為離散變數，研究的系統需要考慮為離散系統，由於這些原因，近來離散控制系統的研究再次引起了控制界的特別重視，目前離散控制系統的分析與設計已成為控制理論的一個重要組成部分。

隨著微型機的多功能性及可靠性的不斷提高，加之其價格的日益下降，套用微型計算機進行控制和管理日益廣泛。例如用小型機代替二次儀表對生產過程進行控制時，其不僅可以實現PID控制，還可以實現一些複雜控制。更進一步，還可以套用離散控制系統的理論和方法，設計更高級的反饋系統，以達到諸如最優控制、線性多變數控制、自適應控制等等。又如用微機對一個工廠、一個公司以至一個比較複雜的管理系統管理時，通過建立數學模型，利用離散系統的理論和方法進行分析與設計，可以得到令人滿意的管理策略。由於數字計算機處理的只能時離散的數位訊號，所以，不論它用於控制或用於管理，如果原來的信號時連續的，都需要將它離散化，轉換成離散信號。這就是說，需要通過離散化把原來的連續控制系統轉換成一個離散獄抹跨控制系統來處理。因此研究離散系統具有重要的現實意義。

時滯系統

眾所周知，有許多實際的系統，譬如，通訊系統、電力系統、網路傳輸系統等，其當前狀態都不可避免地受到過去狀態的影響，即當前狀態的變化率不僅與當前時刻的狀態有關，而且也依賴於過去某時刻或某段時間的狀態。系統的這種特性稱為時滯，具有時滯的系統稱為時滯系統。在研究自然界客觀事物的運動規律時由於其複雜性和多樣性，總是不可避免地存在滯後現象.因此時滯與時滯系統是現實生活與工程技術中普遍遇到的一個實際問題。它起源於18世紀，在20世紀初期，伴隨著系統建模的發展而受到了廣泛的重視.在上世紀50和60年代就已經建立起了時滯系統的相關概念和基本理論，並被表達為各種不同的數學模型，現在主要採用泛函微分方程模型的形式。

時滯的存在，一方面使得系統的動態性能變差甚至導致系統不穩定。另一方面，在某些控制系統中人們又可以利用時滯改善控制效果，譬如在重複控制系統中以及有限時間穩定性控制等，都需要利用時滯來達到該目的。這樣為了更好地利用時滯來解決實際問題以及避免其不利後果，人們很有必要從理論角度分析與了解時滯對動態系統的影響。

魯棒控制發展概況

當控制系統中的某個物理量隨時間變化的規律不能用夜遙習連續函式描述時，只在離散的時刻有數值，則這樣的系統稱為離散時間系統。
隨著計算機科學、脈衝技術、微處理器及數字元部件的發展，在生物、生態、航空、航天、經濟以及工程控制中的大量系統講騙精格都需要用離散時間系統來描述。當連續時間系統在利用計算機對其進行分析和仿真時，也需將其離散化，然後再進行處理。

離散系統與連續系統的描述上有著本質的不同，但在分析研究方面又有著相似性，在連續時間續系統中的許多概念和研究方法，也可以推廣並套用於離散系統中。
時滯是時間滯後的簡稱，也就是發出指令後，一定時間後系統才‘做出反應。時滯現象廣泛存在於各種工業系統之中，如化工生產，工具機的操作過程，通信系統中的信號傳輸過程等。在實際工業系統中，時滯往往會影響系循阿統的正常工作，使系統處於並不穩定的狀態，因此對時滯問題的研究有著十分重要的現實意義。

在控制領域及各種工業生產過程中的多數系統，一般都難以建立精確的數學模型，有時即使得到了被控對象精確的數學模型，可是往往都是十分複雜的，利用已有的控制技術條件是難以處理的，因而需要對複雜的系統進行簡化處理;隨著在生產過程中元器件的磨損與老化，使得被控對象的性能也會發生變化，這就導致了我們所建立的數學模型和實際的被控對象之間存在著一定的偏差和不確定性，再加上現實生活中環境及各種條件的複雜與多樣，即存在著很多不確定的因素。因此淚棄淚研究具有不確定性的滲設承燥系統也具有重要的現實意義。

控制系統的魯棒性是指控制系統在某種類型的擾動作用下，包括自身模型的擾動下，系統某個性能指標保持不變的能力。系統具有良好的魯棒性是系統正常工作的保障。

分類

線性離散時滯系統

建立好適當的離散時滯系統後，系統中的時滯可能是是己知的，也可能是定常的或是時變的，事實證明引起系統不穩定及性能變差的主要原因往往是因為時滯的存在。在時滯系統的研究中，我們可以根據需要的不同而對所研究的時滯系統進行分類，根據系統中所含的時滯個數多少來劃分，可分為單時滯系統和多時滯系統；根據時滯是否隨時間變化而改變來劃分，可分為時變時滯系統和是不變時滯系統；根據系統是否為線性系統來劃分，可分為線性時一滯系統和非線性時滯系統。在控制器的構造上，主要可以分為有記憶控制和無一記憶控制，現在大多採用無記憶控制器，使得相應的閉環系統達到所期望的性能指標。在系統穩定性的研究中，常用的方法有Riccati方法，Lyapunov方法，特徵根方法和矩陣測度(範數)方法等。

隨著計仿真技術的迅速發展，從實際的工業問題出發，對離散時間系統控制方法的研究就顯得尤為重要，雖然連續系統的一些結論可以平行地推廣到離散系統中：但是離散系統自身的結構決定了它還具有與連續系統不同的研究方法。

1995年，楊保民川等研究了不確定離散時間系統的魯棒狀態反饋控制問題，採用對不確定矩陣的秩1分解的方法來計算相應的加權矩陣，套用了Riccati方法來設計魯棒穩定控制器。1998年，王廣雄等先介紹了有關線性矩陣不等式的一些基本概念，然後簡要說明了如何運用MATLAB軟體中的LMI工具箱去求解一個線性矩陣不等式的方法。1999年，謝文翹等運用Lyapunov方法，研究了一類線性的不確定離散時間系統，給出了相應的魯棒線性狀態反饋控制器的一種設計方法。2001年，顏鋼鋒等研究了具有時變不確定參數的線性離散時滯系統的魯棒控制問題，其中不確定參數是滿足匹配條件的，給出了這類線性離散不確定時滯系統可魯棒鎮定的充分條件，並得到了相應魯棒穩定化控制器的一種新方法。2002年，陳東彥等研究了一類線性不確定離散時滯系統的魯棒控制問題，利用Lyapunov方法，結合矩陣不等式性質，給出了該離散時滯系統對所有滿足匹配條件的不確定性，具有魯棒穩定性的充分條件，並設計系統的魯棒狀態反饋控制器。2003年，許立濱l等利用聽apunov方法，研究了線性離散時滯系統的魯棒穩定性判據問題，構造了一個適當的離散Lyapunov函式，通過藉助向量不等式及矩陣範數的有關性質，以矩陣範數的形式給出了所討論系統的魯棒穩定性的充分條件，並且該條件是時滯相關的。湯紅吉等在2005年利用Lyapunov穩定性理論，研究了一類同時具有狀態時滯和輸入時滯的離散時間系統的魯棒控制問題，得出該時滯系統穩定的充分條件，並且該條件是時滯相關的；在2007年，研究了一類具有多胞型的不確定離散時滯系統的魯棒穩定性問題。

與連續時間系統相對應，離散時間系統的研究也在逐步由單時滯向多時滯擴展。2004年，高會軍等研究了具有多面體不確定性的離散多重時滯系統的魯棒穩定性分析和鎮定問題，通過構造新的Lyapunov函式，運用de Oliveir的參數依賴思想，給出了時滯相關的穩定性判據，得到了適用於所給系統的參數依賴型時滯相關的穩定條件。2006年，張文安等研究了具有凸多面體不確定性的離散多時滯系統的魯棒穩定性問題，通過引入適當的二次型有限和不等式，利用參數依賴型離散Lyapunov泛函，推導出了適用於該系統的時滯相關穩定性條件。2007年，張彥虎等研究了具有多重狀態時滯的凸多面體不確定離散時滯系統的魯棒穩定性分析問題，構造了參數依賴的Lyapunov函式，結合線性矩陣不等式性質，推導出了使該時一滯系統魯棒穩定的充分條件，套用此條件，通過判定這組線性矩陣不等式的可解性就可以達到判定系統魯棒穩定性的目的。

非線性離散時滯系統

現實生活中的系統大多數是以非線性系統的形式存在的，為了研究的方便，我們將非線性系統進行適當處理，使其近似為線性系統。有時為了改善系統品質，會人為的引入一些非線性特性，對非線性系統的研究將更有利於實際套用。隨著數學中非線性分析、非線性泛函，物理學中非線性動力學等學科的發展，非線性系統控制也突破了原有的相平面法、Lyapunov方法以及諧波線性化等方法，基於微分幾何的非線性系統理論與Lyapunov穩定性理論、小增益定理以及耗散性或無源行理論相結合，給出了許多系統魯棒分析和設計的方法。非線性系統理論在近20年中取得了巨大的發展。

2004年，申濤等研究了具有非線性擾動的離散不確定系統的魯棒穩定性問題，從線性矩陣不等式的形式給出了該類系統的魯棒穩定性條件。2005年，方建印等利用切換Lyapunov函式方法，把非線性離散開關係統的魯棒鎮定問題轉化成一個矩陣不等式的最優解問題，給出了在任意切換下具有非線性擾動的線性開關係統的可魯棒鎮定的充分條件，並進一步討論了同類時滯開關係統的魯棒鎮定問題，並推廣到廣義開關係統。2006年，方建印等利用Lyapunov方法研究了一類不確定非線性離散系統的魯棒鎮定問題，給出了可設計系統無一記憶狀態反饋控制律的充分條件，並把結果推廣到非線性時滯系統。2008年，包薩日娜等研究了具有非線性擾動的離散不確定帶有狀態時滯和輸入時滯系統的魯棒穩定性問題。

離散系統與連續系統的描述上有著本質的不同，但在分析研究方面又有著相似性，在連續時間續系統中的許多概念和研究方法，也可以推廣並套用於離散系統中。
時滯是時間滯後的簡稱，也就是發出指令後，一定時間後系統才‘做出反應。時滯現象廣泛存在於各種工業系統之中，如化工生產，工具機的操作過程，通信系統中的信號傳輸過程等。在實際工業系統中，時滯往往會影響系統的正常工作，使系統處於並不穩定的狀態，因此對時滯問題的研究有著十分重要的現實意義。

在控制領域及各種工業生產過程中的多數系統，一般都難以建立精確的數學模型，有時即使得到了被控對象精確的數學模型，可是往往都是十分複雜的，利用已有的控制技術條件是難以處理的，因而需要對複雜的系統進行簡化處理;隨著在生產過程中元器件的磨損與老化，使得被控對象的性能也會發生變化，這就導致了我們所建立的數學模型和實際的被控對象之間存在著一定的偏差和不確定性，再加上現實生活中環境及各種條件的複雜與多樣，即存在著很多不確定的因素。因此研究具有不確定性的系統也具有重要的現實意義。

控制系統的魯棒性是指控制系統在某種類型的擾動作用下，包括自身模型的擾動下，系統某個性能指標保持不變的能力。系統具有良好的魯棒性是系統正常工作的保障。

分類

線性離散時滯系統

建立好適當的離散時滯系統後，系統中的時滯可能是是己知的，也可能是定常的或是時變的，事實證明引起系統不穩定及性能變差的主要原因往往是因為時滯的存在。在時滯系統的研究中，我們可以根據需要的不同而對所研究的時滯系統進行分類，根據系統中所含的時滯個數多少來劃分，可分為單時滯系統和多時滯系統；根據時滯是否隨時間變化而改變來劃分，可分為時變時滯系統和是不變時滯系統；根據系統是否為線性系統來劃分，可分為線性時一滯系統和非線性時滯系統。在控制器的構造上，主要可以分為有記憶控制和無一記憶控制，現在大多採用無記憶控制器，使得相應的閉環系統達到所期望的性能指標。在系統穩定性的研究中，常用的方法有Riccati方法，Lyapunov方法，特徵根方法和矩陣測度(範數)方法等。

隨著計仿真技術的迅速發展，從實際的工業問題出發，對離散時間系統控制方法的研究就顯得尤為重要，雖然連續系統的一些結論可以平行地推廣到離散系統中：但是離散系統自身的結構決定了它還具有與連續系統不同的研究方法。

1995年，楊保民川等研究了不確定離散時間系統的魯棒狀態反饋控制問題，採用對不確定矩陣的秩1分解的方法來計算相應的加權矩陣，套用了Riccati方法來設計魯棒穩定控制器。1998年，王廣雄等先介紹了有關線性矩陣不等式的一些基本概念，然後簡要說明了如何運用MATLAB軟體中的LMI工具箱去求解一個線性矩陣不等式的方法。1999年，謝文翹等運用Lyapunov方法，研究了一類線性的不確定離散時間系統，給出了相應的魯棒線性狀態反饋控制器的一種設計方法。2001年，顏鋼鋒等研究了具有時變不確定參數的線性離散時滯系統的魯棒控制問題，其中不確定參數是滿足匹配條件的，給出了這類線性離散不確定時滯系統可魯棒鎮定的充分條件，並得到了相應魯棒穩定化控制器的一種新方法。2002年，陳東彥等研究了一類線性不確定離散時滯系統的魯棒控制問題，利用Lyapunov方法，結合矩陣不等式性質，給出了該離散時滯系統對所有滿足匹配條件的不確定性，具有魯棒穩定性的充分條件，並設計系統的魯棒狀態反饋控制器。2003年，許立濱l等利用聽apunov方法，研究了線性離散時滯系統的魯棒穩定性判據問題，構造了一個適當的離散Lyapunov函式，通過藉助向量不等式及矩陣範數的有關性質，以矩陣範數的形式給出了所討論系統的魯棒穩定性的充分條件，並且該條件是時滯相關的。湯紅吉等在2005年利用Lyapunov穩定性理論，研究了一類同時具有狀態時滯和輸入時滯的離散時間系統的魯棒控制問題，得出該時滯系統穩定的充分條件，並且該條件是時滯相關的；在2007年，研究了一類具有多胞型的不確定離散時滯系統的魯棒穩定性問題。

與連續時間系統相對應，離散時間系統的研究也在逐步由單時滯向多時滯擴展。2004年，高會軍等研究了具有多面體不確定性的離散多重時滯系統的魯棒穩定性分析和鎮定問題，通過構造新的Lyapunov函式，運用de Oliveir的參數依賴思想，給出了時滯相關的穩定性判據，得到了適用於所給系統的參數依賴型時滯相關的穩定條件。2006年，張文安等研究了具有凸多面體不確定性的離散多時滯系統的魯棒穩定性問題，通過引入適當的二次型有限和不等式，利用參數依賴型離散Lyapunov泛函，推導出了適用於該系統的時滯相關穩定性條件。2007年，張彥虎等研究了具有多重狀態時滯的凸多面體不確定離散時滯系統的魯棒穩定性分析問題，構造了參數依賴的Lyapunov函式，結合線性矩陣不等式性質，推導出了使該時一滯系統魯棒穩定的充分條件，套用此條件，通過判定這組線性矩陣不等式的可解性就可以達到判定系統魯棒穩定性的目的。

非線性離散時滯系統

現實生活中的系統大多數是以非線性系統的形式存在的，為了研究的方便，我們將非線性系統進行適當處理，使其近似為線性系統。有時為了改善系統品質，會人為的引入一些非線性特性，對非線性系統的研究將更有利於實際套用。隨著數學中非線性分析、非線性泛函，物理學中非線性動力學等學科的發展，非線性系統控制也突破了原有的相平面法、Lyapunov方法以及諧波線性化等方法，基於微分幾何的非線性系統理論與Lyapunov穩定性理論、小增益定理以及耗散性或無源行理論相結合，給出了許多系統魯棒分析和設計的方法。非線性系統理論在近20年中取得了巨大的發展。

2004年，申濤等研究了具有非線性擾動的離散不確定系統的魯棒穩定性問題，從線性矩陣不等式的形式給出了該類系統的魯棒穩定性條件。2005年，方建印等利用切換Lyapunov函式方法，把非線性離散開關係統的魯棒鎮定問題轉化成一個矩陣不等式的最優解問題，給出了在任意切換下具有非線性擾動的線性開關係統的可魯棒鎮定的充分條件，並進一步討論了同類時滯開關係統的魯棒鎮定問題，並推廣到廣義開關係統。2006年，方建印等利用Lyapunov方法研究了一類不確定非線性離散系統的魯棒鎮定問題，給出了可設計系統無一記憶狀態反饋控制律的充分條件，並把結果推廣到非線性時滯系統。2008年，包薩日娜等研究了具有非線性擾動的離散不確定帶有狀態時滯和輸入時滯系統的魯棒穩定性問題。