雙線性函式

雙線性函式（bilinear function ）是線性函式的推廣。設V₁，V₂是域P上的線性空間，V₁×V₂到P的雙線性映射φ稱為V₁×V₂上的雙線性函式。特別地，當V₁=V₂=V時，φ稱為V上的雙線性函式。半雙線性函式（sesquilinear function）是雙線性函式的推廣。

基本介紹

• 中文名：雙線性函式
• 外文名：bilinear function 
• 本質：線性函式的推廣
• 推廣：半雙線性函式
• 領域：線性空間
• 學科：數學

函式性質

若V是有限維的，φ是V上的雙線性函式，且α₁，α₂，…，α_n是V的基，則對α，β∈V，有

及

即若以α，β表示定義域為V的變數，則域P上n維線性空間V上的雙線性函式φ(α，β)可以表示為域P上變數x₁，x₂，…，x_n與y₁，y₂，…，y_n的雙線性型。

相關概念

1.以φ(α_i，α_j)作為(i，j)元素的n階矩陣(φ(α_i，α_j)_ij)稱為雙線性函式φ關於給定基的矩陣。

2.V上的雙線性函式φ關於不同基的矩陣A，B相互契約：A=XBX，其中X是原基底到新基底的過渡矩陣。

3.φ關於基的矩陣(a_ij)的秩亦稱為φ的秩。

4.當(a_ij)非退化時，φ亦稱為非退化的或滿秩的。

5.當(a_ij)為對稱(反對稱)矩陣時，φ亦稱為對稱(反對稱)雙線性函式。

函式定義

半雙線性函式（sesquilinear function）是雙線性函式的推廣。設P為域，J是P的自同構，域中元素k在J下的像記為k^J，而V₁，V₂是域P上的線性空間，V₁×V₂到P上的映射φ，若滿足：

1.對任意k₁，k₂∈P，α₁，α₂∈V₁，β∈V₂，有

φ(k₁α₁+k₂α₂，β)=k₁φ(α₁，β)+k₂φ(α₂，β);

2.對任意k₁，k₂∈P，α∈V₁，β₁，β₂∈V₂，有

φ(α，k₁β₁+k₂β₂)=k₁^Jφ(α，β₁)+k₂^Jφ(α，β₂);

則稱φ為V₁×V₂上關於J的半雙線性函式。

註：1.當J為恆等自同構時，半雙線性函式即雙線性函式。

2.V×V上關於J的半雙線性函式φ稱為V上的半雙線性函式。

3.V中向量α，β在V上半雙線性函式φ下的像φ(α，β)稱為α與β的內積或純量積，常簡記為(α，β)。當(α，β)=0時，稱α與β左正交，也稱β與α右正交。