素函式(prime function)是函式分解論中一類具特殊性質的函式。設F(z)為一亞純函式，若F的任一個分解式f°g中，必導致f或g為一雙線性函式時，則稱F為素函式。
基本介紹
- 中文名：素函式
- 外文名：prime function
- 領域：數學
- 學科：函式分解論
- 對象：亞純函式
- 分類：左右素函式
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概念
素函式(prime function)是函式分解論中一類具特殊性質的函式。設F(z)為一亞純函式，若F的任一個分解式f°g中，必導致f或g為一雙線性函式時，則稱F為素函式。特別地，F(z)為一整函式，若因子皆為整函式的任一分解，必導致f或g為線性因子時，則稱F為E素的。已經證明，凡是一個非周期性的E素的整函式也必為素的。
左素函式
亞純函式分解論中的一個概念。設F(z)為一亞純函式，若F(z)的每一形如F(z)=f(g(z))的分解，當g為超越函式時，f必為雙線性的(當f為超越函式時，g必為雙線性的)，則稱F為左(右)素函式。
亞純函式分解論
研究亞純函式在複合意義下分解性質的理論，它主要探討對於一個給定的亞純函式可否以及如何將它分解成為兩個或兩個以上的非雙線性亞純函式的複合。1952年，羅森布弄姆(Rosenbloom，P.C.)將整函式疊代的不動點的結果推廣到兩個整函式複合時不動點的存在性與數量的研究時，首先提出了整函式的“分解”一詞及素函式的定義，並指出函式e+z為一素函式。1968年，貝克(Baker，I.N.)與格羅斯(Gross，F.)正式證明了：對任一非常數多項式p(z)，e+p(z)為素函式。同年格氏還將分解研究推廣到亞純函式族。幾乎同時，在1972年左右，格羅斯與楊重駿(Yang，C.C.)、哥爾德斯坦(Goldstein，R.)及普羅科波維奇(Prokopovich，G.S.)等人分別用不同的方法，解決對函式族p1(z)e+p3(z)(p1，p2，p3皆為多項式，p1(z)≢0，p3(z)及p2(z)≢常數)的分解問題。
經過美、中、日、蘇、德、英等國的一些複變函數專家20多年的努力，函式分解論研究有了多方面的進展。但迄今為止，具有較重大意義的分解論的結論並不多。一般僅是一些素函式族的建造，擬素函式的判定法則，及建造某些具分解惟一性的整函式族等，而像素函式的必要條件和因子為素函式的超越整函式的分解是否(在等價意義下)具惟一性等基本問題仍尚待解決及突破。
研究一個函式能否分解，除從其本身(或其導函式)的特殊性質，如其增長性、周期性、零點的分布、有無虧值或是否滿足某些特殊形式的微分方程等來著手外，還要配合因子增長受函式本身增長之限制，使得所考慮的因子範圍有所界定。因此，分解論研究很自然地以古典函式論及奈望林納(Nevanlinna，R.)的值分布論為主要理論工具。這既可解決分解論的一些問題，又使值分布論得到了充實。例如函式與其因子間的增長關係的一些改進結果，函式方程的一些簡化形式及複合函式不動點的數量估計等。
1970年，羅森布弄姆曾提出如下的猜測：設f，g為非線性整函式，如果f(g)為超越的，則它必有無窮多個不動點。上述猜測相當於稱對任何非常數整函式α(z)及多項式p(z)(≢0)，z+p(z)e必為素函式。此猜測在f(g)為有窮級時已在前面提到的對p1(t)e+p3(z)的分解研究中得到了解決.f(g)為無窮級的情形，直到1988年才由伯格維諾(Bergweiler，W.)所解決。除此較重大的成果外，另一是早先施泰因梅茨(Steinmetz，N.)於1980年所證明的：任何一個滿足係數為多項式的線性常微分方程的亞純函式解必為擬素的。從此開啟了人們對常微分方程亞純函式解的分解討論並取得一系列進展.施氏所用的函式方程簡化定理成為分解論中的一個重要方法。
最近，中國數學家已開始對代數體函式的分解及多變數整函式的分解進行研究，給出了初步的定義和結果。
亞純函式
除極點外為全純的函式為亞純函式，它是複變函數論研究的主要對象之一。
德國數學家外爾斯特拉斯、瑞典數學家米塔-列夫勒、法國數學家柯西等都是亞純函式理論的奠基人。1876年，外爾斯特拉斯證明了一個亞純函式可以表示為兩個整函式的商。第二年，瑞典數學家米塔-列夫勒推廣了外爾斯特拉斯的結果，證明在任意一個區域上的亞純函式皆可表示為兩個函式的商，其中每一個都在該區域內解析。法國數學家柯西也曾給出一種分解方法，對相當廣的一類亞純函式得到簡單的表示式。
近代亞純函式理論是20世紀20年代由芬蘭數學家奈望林納所創立。他在1925年發表了亞純函式的一個一般性理論，這個理論中有兩個基本定理分別被稱為第一基本定理和第二基本定理，從它們可以推出一系列關於亞純函式的值分布的結果，豐富並推進了前人的工作，產生了深遠影響。
亞純函式的術語是由法國數學家布里奧和布凱共同引進的。
