雙正則環(biregular ring)是一類特殊環。指每個主理想皆為直和項的環類。若環R的每個主理想都可由一個中心冪等元生成，則稱R為雙正則環。有1的雙正則環的所有主理想構成布爾代數。雙正則環是半本原環，它是本原環若且唯若它是有單位元的單環。
基本介紹
- 中文名：雙正則環
- 外文名：biregular ring
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 性質：一類特殊環
- 特點：每個主理想皆為直和項
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概念
雙正則環(biregular ring)是一類特殊環。指每個主理想皆為直和項的環類。若環R的每個主理想都可由一個中心冪等元生成，則稱R為雙正則環。有1的雙正則環的所有主理想構成布爾代數。雙正則環是半本原環，它是本原環若且唯若它是有單位元的單環。不含非零冪零元的Ⅱ正則環是雙正則環；而不含非平凡冪等元且不是除環的有1單環是雙正則的，但不是Ⅱ正則環。
環
對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：
環論
抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：
1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+);
2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立，即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。
另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論。20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究.分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環.乘法半群的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元.乘法半群的單位元稱為環R的單位元.(R，+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環.S是R的子環若且唯若對任意a，b∈S恆有a-b∈S，ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環，非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來，但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式，並早已趨完整。比結合環更弱的環類是擬環與半環，雖然早在20世紀40年代，就分別由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪維爾(Vandiver，H.S.)提出，但它們的發展是20世紀60年代以來，受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的，現已成為環論的獨立分支。
本原環
一類重要的環.。研究雅各布森根時引入的，其後被廣泛討論與套用。若環R有一個忠實右(左)R單模(即忠實既約右(左)R模)，則稱R為右(左)本原環。通常將右本原環簡稱本原環。一般說來，左本原環未必是本原環，但當R有極小單側理想時，左本原性與本原性一致。任何本原環皆為素環。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原環來代替有限條件下的單環，從而得出在沒有有限條件限制下的一般半單環的結構定理，這是環論的重大發展。
半本原環
亦稱J半單環。一類重要的環。若環R的雅各布森根J(R)=0，則R稱為半本原環，又稱雅各布森半單環。環R是半本原的若且唯若對R中任意元素a≠0，存在一個既約表示ρ，使得ρ(a)≠0，若且唯若R有一個忠實完全可約表示。對任意環R，R/J(R)都是半本原環。一個環R是半本原的充分必要條件是R為本原環的亞直和。
理想
集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I;
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：
