黎曼曲面是一維復解析流形，緊緻黎曼曲面稱為閉黎曼曲面，否則為開黎曼曲面。
基本介紹
- 中文名：閉黎曼曲面
- 外文名：closed Riemann surface
- 適用範圍：數理科學
簡介,黎曼曲面,閉黎曼曲面,基本定理,
簡介
黎曼曲面
黎曼曲面是一維復解析流形。
由局部定義的解析函式經解析開拓得到的大範圍定義的解析函式常常是多值的，它的單值定義域即是相聯於此函式的黎曼曲面，它能由有限或可數無窮多的“葉”所組成，這些葉都是複平面C上的域。
閉黎曼曲面
緊緻黎曼曲面稱為閉黎曼曲面，否則為開黎曼曲面。
基本定理
(uniformization theorem)
單值化定理是黎曼曲面理論中最基本最重要的定理。
單值化定理表明，大多數的情形下，黎曼曲面共形等價於單位圓D對某個富克斯群G的商空間D/G，因此R上的解析函式論等價於定義在D上的對某個富克斯群G自守的函式論，反之，整個黎曼曲面理論也能以這個特殊的表示為基礎進行討論，一個經典的問題是：給定一個D上的富克斯群G，是否存在非常數亞純函式對於G是自守的，即黎曼曲面上是否存在非常數的亞純函式。龐加萊((J.-)H.Poincaré)具體構造Θ級數，後稱為龐加萊級數，以此證明對給定的G是自守的函式的存在，閉黎曼曲面的一個重要定理是黎曼-羅赫定理，它給出閉黎曼曲面上亞純函式構成的線性空間的維數，兩黎曼曲面，如果存在映一個為另一個的共形映射，則稱它們是共形等價的。關於閉黎曼曲面的模的黎曼問題稱：虧格為g(>2)的閉黎曼曲面的共形等價類集合Rg構成3g-3維複流形，這方面基礎性的工作是由弗里克(R.Fricke)和泰希米勒(O.Teichmǚller)所做。
