阿貝爾微分

阿貝爾微分是一類微分式。閉黎曼曲面k上的亞純微分稱為阿貝爾微分。阿貝爾微分分為第一類阿貝爾微、第二類阿貝爾微分和第三類阿貝爾微分。

基本介紹

• 中文名：阿貝爾微分
• 外文名：Abel differential
• 適用範圍：數理科學

分類

設 g 是曲面 S 的虧格； 是 S 的典範同調基的閉鏈，根據它們奇點的性狀，將它們分成三類阿貝爾微分：Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ ，並且有真包含關係 。

第一類阿貝爾微分

(Abelian differential of the first kind)

第一類阿貝爾微分就是 S 上處處全純的一階微分，且在每個點 的一個鄰域 U 內它具有形式 ，這裡 是 U 內的局部單值化變數， 是 U 內 z 的全純或正則的解析函式。

阿貝爾微分相加或它與一個全純函式相乘可以用自然的方式：如果 ，則 。第一類阿貝爾微分構成一個 g 維的向量空間 。再引入標量積 ，其中 是與星共軛微分 的外積 (exterior product)，空間 成為希爾伯特空間。

設 是第一類阿貝爾微分ω的 A 周期和 B 周期，即積分 。那那么有以下關係式：

如果 是另一個第一類阿貝爾微分 的周期，那么有

關係式（1）和（2）稱為第一類阿貝爾微分的黎曼雙線性關係 (bilinear Rienmann relations)。可以選取第一類阿貝爾微分的一個典範基，即空間 的一個典範基 ，使得 ，這裡 ，若 。於是 B 周期 矩陣 是對稱的，而且虛部的矩陣 是正定的。A 周期全為零或 B 周期全為零的第一類阿貝爾微分 的所有周期全為實數，那么ω=0 。

第二類和第三類阿貝尓微分

(Abelian differentials of the second and third kinds)

第二類和第三類阿貝爾微分通常是亞純微分，即在 S 上至多只有有限多個奇點（為極點）的解析微分，它們有局部表達式：

其中 是正則函式，n 是極點的階（若 ），且 是極點的留數。如果 ，這個極點稱為單的。第二類阿貝爾微分就是所有留數都為零的亞純微分，即具有局部表達式 的亞純微分。第三類阿貝爾微分是一個任意的阿貝尓微分。

設 是具有 A 周期 的一個任意阿貝尓微分；那么阿貝爾微分 的 A 周期都是零，稱為正規阿貝爾微分(mormlized Abelian differential) 。特別地，當 和 是 S 上任意兩點時，可以構造一個在 有奇點 ，在 有奇點 的正規化阿貝爾微分 是第三類正規阿貝爾微分。設是任意阿貝爾微分，它在點 處分別有留數 ；那么總有 。如果 是 S 上一個任意點， ，那么 可以表示成一個第二類正規化阿貝爾微分 ，有限個第三類正規阿貝爾微分 以及第一類阿貝爾微分 的線性組合： 。

設ω₃ 是只在 有留數 的單極點的第三類阿貝爾微分，ω₁ 是任意的一個第一類阿貝爾微分： ，這裡的閉鏈 不通過ω₃ 的極點。設 不在閉鏈 上， 是從 到 的一條道路。那么可得第一類和第三類阿貝爾微分的雙線性關係(bilinear relation)：

在第一類和第二類阿貝爾微分也有類似的雙線性關係。

除了被稱為循環周期 (cyclic period) 的 A 周期和 B 周期 外，一個任意的第三類阿貝尓微分還具有沿著圍繞 的零同調閉鏈的形如 的極周期 (polar period)。於是對任意的閉鏈 有 這裡 和 都是整數。

性質

阿貝爾微分的重要性質可以用除子描述。

設 是阿貝尓微分ω的除子，即 是一個形如 的表達式，其中 是ω的所有零點和極點， 是它們的重數或階數。阿貝爾微分ω的除子的次數 僅依賴於 S 的虧格。且總有 。設 是某個已給的除子，用 表示簇子 是 的倍數的阿貝尓微分ω的復向量空間，用 表示其除子 是 的倍數的 S 上亞純函式 f 的向量空間，則 。關於這些空間的維數的另一重要信息包含在黎曼-羅赫定理中：等式

對任意除子 成立。由上述可知，如當 ，即在環面上時，亞純函式不能有單獨的單極點。

設 S 是任意緊黎曼面，其上有滿足不可約代數方程 的亞純函式 z 和 ω，那么 S 上任意阿貝爾微分都可以表示成 ，其中 是 z 和 ω的一個有理函式；反之，表達式 是一個阿貝爾微分。這意味著任何阿貝爾積分 是緊黎曼面 S 上的某個阿貝爾微分的積分。