重級數

重級數(multiple series)也稱多重級數，k重級數等，是重序列的形式和，多重級數的理論和性質等可效仿二重級數的理論和性質加以推廣得到。

基本介紹

• 中文名：重級數
• 外文名：multiple series
• 別稱：多重級數，k重級數
• 所屬學科：高等數學
• 簡介：重序列的形式和

基本介紹

重級數（1）由m重序列a_n1n2…nm構成的形如

的表達式稱為m重級數，這裡n₁，n₂，…，n_m各自獨立地取1，2，3，…，參見“二重級數”，該條中的各種部分和容易推廣到m≥3時的m重級數。

（2）設(x_s)_{s∈ Np}是G之元素的多重序列，對N^p的任一有限子集J，假定

稱由多重序列(x_s)及族(S_J)所組成的偶為以(xs)為通項的多重級數，其中J取遍N^p的全體有限子集的集合。用通俗而不嚴格的語言，人們也常說如果族(x_s)_s∈Np是可和的，則這個多重級數是收斂的。

相關性質定理

設有r個下標的無窮數組

則稱運算符號

為多重(r-重)級數(multiple series)，若部分和

當時有有窮極限A，則稱此多重級數收斂，且和為A，否則稱為發散。

多重級數的理論可效仿下面的二重級數理論加以推廣得到。

二重級數是二重序列的形式和，設{a_mn}是二重序列，把它的項按任意次序排列並以加號連結得到的表達式稱為二重級數，記為

a_mn，　(1)

這裡m，n各自獨立地取正整數1，2，3，…數

S_mn=a_ij

稱為(1)的部分和，若二重極限

=S(有限)，

則稱該二重級數收斂，S為它的和，記為

S=.

當這樣的S不存在時，稱這個二重級數發散。若

|a_mn|

收斂，則稱(1)絕對收斂。類似於通常的級數(相對於二重級數，通常的級數稱為單級數)，可定義二重級數的條件收斂性。單級數的一些基本性質仍為二重級數所保持。例如，非負項二重級數收斂若且唯若其部分和有界，二重級數收斂的必要條件是a_mn→0(m，n→∞)，絕對收斂的二重級數必收斂(參見“絕對收斂級數”)等，對二重函式項級數，也可如函式項級數那樣引進一致收斂概念，並得到相應的柯西準則、M判別法等，設φ是正整數集N₊到N₊×N₊上的一一對應，則對二重級數(1)，可以得到級數

a_φ(k).

φ稱為二重序列{a_mn}到序列{a_φ(k)}_k=1的重排，或二重級數(1)到單級數∑a_φ(k)的重排.若級數

|a_mn|，|a_mn|，|a_mn|，|a_φ(k)|

之一收斂，則：

1.另三個也收斂，且它們的和相等(設為S)。

2.a_mn與a_mn均絕對收斂於S(a_mn與a_mn也絕對收斂)。

在一些文獻中，上述結論被稱為主要重排定理。由此可知，絕對收斂的二重級數的兩個疊級數也絕對收斂，有同一個和。由於二重級數的項的排列次序不惟一以及多種研究目的，因此，還有多種定義二重級數的部分和的方式，相應地也就有了不同的定義二重級數的和與收斂性的方式。