給定帶有兩個下標i和j的無窮數集{aij}(i=1,2,...;j=1,2,...),稱記號a11+a12+...+a21+a22+...+a31+a32+...是二重級數(double series)。二重級數可以很方便地寫成有無窮多行無窮多列的表的形式。若aij是數,則級數叫做數值二重級數;若aij是函式,則級數叫做函式項二重級數。
基本介紹
- 中文名:二重級數
- 外文名:double series
- 所屬學科:數學(數學分析)
- 所屬問題:複變函數論
- 簡介:二重序列的形式和
基本介紹,二重級數的相關性質,二重級數的收斂性,重排定理,
基本介紹
二重級數是二重序列的形式和,設{amn}是二重序列,把它的項按任意次序排列並以加號連結得到的表達式稱為二重級數,記為:
, (1)
這裡m,n各自獨立地取正整數1,2,3,…數:
Smn=aij
稱為(1)的部分和。
二重級數的相關性質
二重級數的收斂性
若二重極限:
Smn=S(有限),
則稱該二重級數收斂,S為它的和,記為:
S=amn.
當這樣的S不存在時,稱這個二重級數發散,若:
|amn|
收斂,則稱(1)絕對收斂,類似於通常的級數(相對於二重級數,通常的級數稱為單級數),可定義二重級數的條件收斂性,單級數的一些基本性質仍為二重級數所保持,例如,非負項二重級數收斂若且唯若其部分和有界,二重級數收斂的必要條件是amn→0(m,n→∞),絕對收斂的二重級數必收斂(參見“絕對收斂級數”)等,對二重函式項級數,也可如函式項級數那樣引進一致收斂概念,並得到相應的柯西準則、M判別法等。
重排定理
設φ是正整數集N+到N+×N+上的一一對應,則對二重級數(1),可以得到級數:
aφ(k).
φ稱為二重序列{amn}到序列的重排,或二重級數(1)到單級數∑aφ(k)的重排。若級數
|amn|,|amn|,|amn|,|aφ(k)|
之一收斂,則:
1.另三個也收斂,且它們的和相等(設為S);
2.與均絕對收斂於S(與也絕對收斂)。
在一些文獻中,上述結論被稱為主要重排定理。由此可知,絕對收斂的二重級數的兩個疊級數也絕對收斂,有同一個和。由於二重級數的項的排列次序不惟一以及多種研究目的,因此,還有多種定義二重級數的部分和的方式,相應地也就有了不同的定義二重級數的和與收斂性的方式。