絕對收斂級數

若某一任意數項級數的各項的絕對值所組成的級數收斂，則稱該級數為絕對收斂級數。絕對收斂級數是收斂的，但收斂的級數不一定是絕對收斂級數。絕對收斂級數任意交換各項的順序後所構成的新的級數仍舊絕對收斂。通過比較判別法、比值判別法、Raabe判別法等可以判別某一數項級數是否絕對收斂。

基本介紹

• 中文名：絕對收斂級數
• 外文名：Absolutely Convergent Series
• 本質：級數各項的絕對值組成的級數收斂
• 性質1：絕對收斂的級數是收斂的
• 性質2：交換各項順序後所得級數絕對收斂
• 判別法：比較、比值、Raabe判別法等

定義

若任意數項級數的各項的絕對值組成的級數是收斂的，則稱級數是絕對收斂級數。

性質

1）絕對收斂的級數是收斂的，但是，收斂的級數不一定是絕對收斂的（非絕對收斂的收斂級數稱為條件收斂級數）；

2）若級數絕對收斂，則任意交換它的各項順序後所得的新級數也絕對收斂，且其和不變；

3）若級數和都絕對收斂，其和分別為A與B，則級數也絕對收斂，其和等於AB。

判別法

1）比較判別法

設，

①若級數收斂，則級數也收斂，即絕對收斂；

②若級數發散，則級數也發散，即非絕對收斂。

2）比較判別法的極限形式

設

①若，則級數與級數同時斂散；

②若，則級數收斂時，級數也收斂；

③若，則當級數發散時，級數也發散。

3）比值判別法

設

①當時，級數絕對收斂；

②當時，級數發散，級數也發散。特別地，當時，級數發散；

③當時，比值判別法失效（即無法通過比值判別法判斷級數是否絕對收斂）。

4）Raabe判別法

設

①當時，級數收斂；

②當時，級數發散。