無條件收斂級數

無條件收斂級數（unconditionally convergentseries）主要包括數值級數的無條件收斂和Banach空間內級數的無條件收斂，兩者的定義是相同的，是指任何重排均收斂的級數。換句話說，無條件收斂級數是這樣的級數：不管如何交換它的項的次序，所得到的級數仍然收斂，因此，又稱可換收斂級數。對數項級數而言，級數是無條件收斂的若且唯若級數是絕對收斂等價的。無窮維空間內的無條件收斂主要包括Hilbert空間內的無條件收斂、Lp空間內的無條件收斂、一致凸Banach空間內的無條件收斂、cotype p的Banach空間內的無條件收斂級數。

基本介紹

• 中文名：無條件收斂級數
• 外文名：unconditionally convergentseries
• 別名：可換收斂級數
• 對象：數值級數、Banach空間內級數
• 定義：任何重排均收斂的級數
• 套用學科：無窮維Banach空間內級數重排

定義

針對數值級數

對於一個無條件收斂級數，把級數的各項相加的順序做任意的排列後所得到的各種級數仍收斂於同一極限。對數項級數而言，級數是無條件收斂的若且唯若級數是絕對收斂等價的。

在數項級數中，絕對收斂級數主要有兩個重要性質：

（1）級數的重排。若數項級數絕對收斂，其和等於S，則任意重排後所得到的級數也絕對收斂且有相同的和數。

（2）級數的乘積。若兩級數均為絕對收斂級數且分別收斂於A,B，則這兩個級數的乘積按正方形順序或按對角線順序排列所得的級數也是絕對收斂的，並且收斂於AB。

針對Banach空間內級數

是Banach空間內的級數，如果對每一個排列 ，級數 收斂，則稱 為無條件收斂的。

針對泛函級數

假如對任意基本函式，級數收斂，則稱泛函級數為無條件收斂的。

Hilbert空間內的無條件收斂

定理1

設X為Banach空間， ，則級數 無條件收斂的充要條件是它的任一子級數收斂。

定理2

設Hilbert空間內的級數 是無條件收斂的，則 。

Lp空間內的無條件收斂

設 空間內的級數 是無條件收斂，則對任何 ，級數 收斂。

引理

設 是Banach空間內的無條件收斂級數，則存在常數M>0，對一切的 有如下結論成立： 。

W.Orlicz定理

如果級數 是 空間內的無條件收斂級數，則有：

（1）當時 ， ；

（2）當時 ， 。

一致凸Banach空間內的無條件收斂

設級數 是Banach空間內的無條件收斂級數，則對任何的 ，級數 是收斂的。

凸性模

在一致凸的Banach空間內，被單位球所截得的距球心距離是 平面直徑集合的上界記為 ，它的反函式 稱為空間的凸性模。

M.H.Kaneu定理

如果級數 在一致凸Banach空間內是無條件收斂的，其凸性模 ，則有： 。

cotype p的Banach空間內的無條件收斂級數

cotype p的Banach空間內的無條件收斂級數的最新結果，包含了著名的W.orlicz的定理。

定理1

設 是具有cotype p的Banach空間內的無條件收斂級數，則 。

定理2

設 是 空間內的無條件收斂級數，則有：

（1）當時 ， ；

（2）當時 ， 。