絕對收斂

絕對收斂一般用來描述無窮級數或無窮積分的收斂情況。如果級數ΣU_n各項的絕對值所構成的級數Σ|U_n|收斂，則稱級數ΣU_n絕對收斂，級數ΣUn稱為絕對收斂級數。絕對收斂級數一定收斂。

若函式f(x)在[a,b]上可積，且|f(x)|的無窮積分（從a到+∞）上收斂，則稱 f(x) 的無窮積分（從a到+∞）絕對收斂。絕對收斂一定收斂。

基本介紹

• 中文名：絕對收斂
• 外文名：Absolute Convergence
• 歸屬學科：數學
• 描述：無窮級數或無窮積分的收斂情況
• 性質1：絕對收斂一定收斂
• 性質2：收斂不一定絕對收斂

級數

定義

如果級數 各項的絕對值所構成的級數 收斂，則稱級數 絕對收斂，級數 稱為絕對收斂級數。

定理

定理1：絕對收斂級數一定收斂。

定理2：設級數 絕對收斂，且其和等於S，則任意重排後所得的級數也絕對收斂，且有相同的和數。

注意：由條件收斂級數重排後所得的新級數，即使收斂，也不一定收斂於原來的和數。而且，條件收斂級數適當排列後，可得到發散級數，或收斂於事先任意指定的數。

定理3：若級數：

都絕對收斂，則對所有乘積 按任意排列所得的級數 也絕對收斂，且其和等於AB。

判別方法

由定義可知，要知道 是否絕對收斂，只需要看 是否收斂。下面將介紹5種判別級數是否收斂的方法。

（1）【阿貝爾判別法】

若 為單調有界數列，且級數 收斂，則級數 收斂。

（2）【狄利克雷判別法】

若數列 單調遞減，且 ，又級數 的部分和數列有界，則級數 收斂。

（3）【比式判別法】

設 為正項級數，且存在某正整數 及常數q 。若對一切 ，不等式 成立，則級數 收斂；若對一切 ，不等式 成立，則級數 發散。

【推論】

設 為正項級數，且 ，則若 時，級數 收斂；若 或 時，級數 發散；若 ，則無法判斷。

（4）【根式判別法】

設 為正項級數，且存在某正整數 及正常數 。若對一切 ，不等式 成立，則級數 收斂；若對一切 ，不等式 成立，則級數 發散。

【推論】

設 為正項級數，且 ，則若 時，級數 收斂；若 時，級數 發散；若 ，則無法判斷。

（5）【比較原則】

設 和 是兩個正項級數，如果存在某個正數N，對一切n>N，都有： ，若級數 收斂，則，級數 也收斂；若級數 發散，則， 也發散。

無窮積分

定義

1. 若函式 在任何有限區間 上可積，且無窮積分 收斂，則稱 絕對收斂。

2.函式在區間上連續，且無窮限積分收斂，則稱絕對收斂

定理

1. 無窮積分 收斂的充要條件是：任給 ，存在 ，只要 ，便有：

2.收斂的充要條件是：存在上界

判定方法

（1）【比較判別法】

設定義在上的兩個函式f 和 g 都在任意有限區間上可積，且滿足

則當收斂時，必定收斂。

（2）【狄利克雷判別法】

若在上有界，在上當 時單調趨於0，則收斂。

（3）【阿貝爾判別法】

若收斂，在上單調有界，則收斂。

無論無窮級數還是無窮積分，它們都是要么發散，要么條件收斂，要么絕對收斂，三者必居其一。