達朗貝爾判別法

達朗貝爾判別法，又稱比值判別法，是用來判別級數斂散性的一種方法，是由法國著名的物理學家、數學家和天文學家讓·勒朗·達朗貝爾提出。

基本介紹

• 中文名：達朗貝爾判別法
• 外文名：D'Alembert's test、Ratio test、Cauchy ratio test
• 別名：比值判別法、比值審斂法、檢比法

陳述

設為無窮級數，其中每一項都是不為0的實數或複數，如果（裡面的項為複數時就是取模），則

若，級數絕對收斂。（裡面的項為複數時就是取模）

若（包括發散到的情況），級數發散。

若非以上兩者， 即時，級數可能收斂也可能發散。

證明

設。選取使得。對充分大的，有。所以時，有。然後，。考慮，這是一個公比在0與1之間的無窮等比級數，所以收斂。由比較審斂法，知收斂，即絕對收斂。

若，則選取使得。對充分大的，時，有。然後，。考慮，其公比大於1，故發散。由比較審斂法，知發散。

最後，考慮p級數，。又因為p級數當時收斂，時發散，所以可能收斂也可能發散。