p級數

p級數，又稱超調和級數，是指數學中一種特殊的正項級數。當p=1時，p級數退化為調和級數。p級數是重要的正項級數，它能用來判斷其它正項級數斂散性。

基本介紹

• 中文名：p級數
• 學科：數學

定義

定義. 對任意的正實數，稱下列級數

為級數。顯然，當時，級數收斂，當，級數發散。當級數收斂時，記為級數收斂值。易知是上的光滑函式。

特殊值

1）對任意的正偶數，有

其中，是第個伯努利數。對任意的正奇數，目前還沒有這樣的簡單表達式。

2）

也稱為調和級數，應此，由上式可知調和級數是發散的。

3）

4）

5）

6）

歐拉乘積公式

函式與素數之間有一重要的關係，即歐拉乘積公式，最早由數學家歐拉發現。即為

其中，表達式右邊為

歐拉乘積公式表明函式和素數之間有千絲萬縷的聯繫。

由歐拉乘積公式，我們有

當時，歐拉乘積公式左邊為調和級數，是發散的，歐拉乘積公式右邊為，這表明素數是無窮多個。除此之外，上述公式還有很多其它用處。如歐拉乘積公式可用於計算隨機選取的整數互質的漸近機率。

黎曼函式

定義. 在複平面上，對任意，定義黎曼函式為

或者由下述積分給出

其中

黎曼函式和黎曼猜想有關。而目前黎曼猜想是數學上還未解決的一個重要的猜想，其猜想是非平凡的零點的分布都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。進一步的了解參見黎曼猜想。