運算元值測度

簡介

向量值測度是數值測度的推廣，是定義於σ代數上而取值於巴拿赫空間的可列可加向量值集函式。

設 (Ω,𝓕) 是可測空間，E是定義在𝓕上而取值於巴拿赫空間X的向量值集函式，如果滿足下列條件，則稱E是𝓕上的向量值測度：

1、E (

) =0（是空集）；

2、可列可加性，即對 𝓕 中任意互不相交的集列 {A_i}，若下式右端的級數按 X 中範數收斂，必有

例如，如果 (Ω,𝓕,μ) 是σ 有限測度空間，x(t) 是定義在Ω 上而取值於巴拿赫空間 X 的博赫納可積函式，對任何 A

𝓕，定義

則 E 是定義在𝓕 上而取值於 X 的向量值測度。

特別地，當 X 是某個巴拿赫空間上的有界線性運算元全體按運算元範數所成的巴拿赫空間時，就稱 E 為𝓕 上的運算元值測度。

巴拿赫空間有兩種常見的類型：“實巴拿赫空間”及“復巴拿赫空間”，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。

許多在數學分析中學到的無限維函式空間都是巴拿赫空間，包括由連續函式（緊緻赫斯多夫空間上的連續函式）組成的空間、由勒貝格可積函式組成的Lp空間及由全純函式組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。