連續方程

質量守恆定律是套用於研究大氣運動的基本物理定律，其數學表達式成為連續方程（continuity equation）。它表明，速度場與密度場是相互制約的，故連續方程也是描寫大氣運動的基本方程之一。

基本介紹

• 中文名：連續方程
• 外文名：continuity equation
• 學科：動力氣象學
• 實質：質量守恆原理的流體力學表達式
• 含義：速度場與密度場是相互制約的
• 地位：描寫大氣運動的基本方程之一

定義

質量守恆定律是套用於研究大氣運動的基本物理定律，其數學表達式成為連續方程（continuity equation）。

它表明，速度場與密度場是相互制約的，故連續方程也是描寫大氣運動的基本方程之一。

方程推導過程

考慮一個具有固定質量 的物質體積元，其體積為 （取笛卡爾坐標系，見圖 1），則有：

圖1 物質體積元的體積在運動中的變化

由於物質體積元在運動中質量守恆，因此有（1）式：

又

由圖2.7所示，我們發現物質體積元的 y - z面（分別用A,B表示）隨氣流在 x 方向移動著，A面的速度為 ，B面的速度為 ，A 面和B 面的速度差為

即有 ，類似地有 ，

所以

代入（1）式，得到

或寫成（2）式

這就是連續方程。

速度散度

根據連續方程，有

表示速度散度。

速度散度代表物質體積元的體積在運動中的相對膨脹率。因此連續方程的物理意義極為清楚，它表明，當物質體積元在運動中體積增大時（ ），因質量守恆其密度要減小；運動中體積減小時（ ），其密度要增大。

質量淨流出率

（2）式還可改寫為（3）式：

圖2 沿x方向流入固體體積元中的大氣質量

對於流體中一固定空間體積元而言， 代表每單位空間體積中流體質量的淨流比率，這不難加以說明。事實上通過固定空間體積元 A 面（見圖 2 ）的質量流入率為

通過B面上質量的流出率為

故 x 方向上運動引起的質量淨流出率為

y 和 z 方向上的運動引起的質量淨流出率的表達式是類似的。所以從固定體積元中質量的淨流出率為

單位體積中的質量淨流出率為

因此，（3）式的物理意義也是清楚的，它表明，對於固定空間體積元而言，當有質量流入時（ ），固定體積元的密度要增大；當有質量流出時（ ），固定體積元的密度要減小。