《近Kaehler流形中的若干問題》是依託揚州大學，由王宏玉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：近Kaehler流形中的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王宏玉
- 依託單位：揚州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
（A）（1）研究Donaldson提出的問題：如一個四維流形上的近復結構被一辛形式馴化，是否存在一個新的辛結構與給定近復結構相容。我們特別注重b+=1情形。（2）我們研究辛流形上的廣義Calabi-Yau方程，特別關注Hamilton四維辛流形。 （B）研究具局部辛形式的近複流形上的閉，正（1,1）-流的正則性，這類似於Demailly關於複流形上閉，正（1,1）-流的正則性研究。主要技術是典則聯絡和Donaldson的全純逼近方法。 （C）（1）如果我們有一個緊Kaehler曲面和另外一個辛-形式，Kaehler-形式和辛-形式具有同樣的第一Chern類和de Rham上同調類，他們是否會辛-等價？ （2）更一般的問題，具有相同辛-上同調類和第一Chern類是否會辛-等價？
結題摘要
我們已經發表了以下一些重要結果： 1. 設 $M$ 是具有近復結構的閉4-流形. 令 $\mathcal{J}'(M)=\{J\in\mathcal{J}: h^-_J=0\}$, 那么 $\mathcal{J}'$ 是 $\mathcal{J}$ 的開稠子集(在 $C^\infty$-拓撲意義下). 2. 設 $(M,\omega)$ 是一閉的辛4-流形, $\mathcal{J}^c_\omega(M)$ 為 $M$上$\omega$-相容的近復結構構成的無限維空間. 令 ${\mathcal{J}^c_\omega(M)}'\triangleq\{J\in\mathcal{J}^c_\omega(M): h^-_J=0\}$, 則 ${\mathcal{J}^c_\omega(M)}'$是 $ \mathcal{J}^c_\omega(M)$的開稠子集. 3. 設 $(M,g,J,F)$ 是一個近Hermitian流形, $f:\Sigma\to M$ 是一個單浸入且滿足$\cos\alpha_0＞0$. 如果泛函 $L_p$ 在 $\mathcal{H}$ 中有奇點, 則該浸入是$J$-全純的, 其中$p\in\mathbb{Z}-\{1\}$. 另外, 我們還得到以下重要結果, 均在投稿中： 1. 假設$(M,\omega)$ 是一個2n維的閉辛拋物流形且滿足hard Lefschetz 性質, 那么它的歐拉示性數滿足 $(-1)^n\chi(M)\geq0$. (arXiv:1602.08221v2) 2. 令$(M,\omega)$ 是一個閉的辛四維流形. 假設$J$是$M$上的一個$\omega$馴化的近復結構且滿足$h^-_J=b^+-1$, 那么存在一個新的辛形式$\Omega$與$J$相容. 從而我們得到：假設 $(M,J)$ 是個被 $\omega$ 馴化的閉的近復四維流形. 當 $b^+=1$ 時, 那么存在一個新的辛形式 $\Omega$與 $J$ 相容, 且$\Omega$與 $\omega$ 上同調. (arXiv:1712.02948v1) 上述定理可看成Kodaira猜想的辛版本.
