費爾馬點——就是到三角形的三個頂點的距離之和最短的點。 對於一個頂角不超過120度的三角形，費爾馬點是對各邊的張角都是120度的點。 對於一個頂角超過120度的三角形，費爾馬點就是最大的內角的頂點。
基本介紹
- 中文名：費爾馬點
- 國籍：法國
- 出生日期：1601年8月17日
- 逝世日期：1665年1月12日
- 主要成就：費爾馬大定理；費爾馬點
- 領域：數學
- 相關人物：費爾馬
- 產生時間：15世紀
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費爾馬
在笛卡兒系統地闡述現代解析幾何基礎的同時，另一位法國數學天才費爾馬(Pierrede Fermat)也注意到這門學科．費爾馬要求承認是他發明解析幾何的理由是：他在1536年9月給羅伯瓦的一封信中說到，他有這個概念已經七年了．在他死後發表的論著《平面和立體的軌跡引論》(isogoge ad locus planos et solidos)中，記載了這項工作的一些細節．在這裡，我們見到了一般直線和圓的方程，以及關於雙曲線、橢圓、拋物線的討論．在一部1637年前完成的、關於切線和求面積的著作中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線．笛卡兒只提出了很少幾種由機械運動生成的新曲線，而費爾馬則提出了許多以代數方程定義的新曲線．曲線xmyn=a，yn=axm和rn=aθ，還被稱作費爾馬的雙曲線(hyperbolas)、拋物線(parabolas)和螺線(spirals of Fermat)．費爾馬還和別人一起提出了後來被稱作阿涅澤的箕舌線(witch of Agnesi)的三次曲線；這曲線是以阿涅澤(Mati- a Haetana Agnesi，1718—1799)的名字命名的，她是一位多才多藝的婦女，是傑出的數學家、語言學家、哲學家和夜遊病患者．這樣，在很大程度上，笛卡兒從一個軌跡開始然後找它的方程，費爾馬則從方程出後，然後來研究軌跡．這正是解析幾何的基本原則的兩個相反的方面．費爾馬的著作用的是韋達的記號，並且因此，與笛卡兒的較為現代的記號相比，有點象古文．
報告記載
有一個看來可靠的報告說，費爾馬在1501年8月17日出生於土魯斯附近的博芒特．德．洛馬格內．他在1565年1月12日死於卡斯特爾或土魯斯，這是人們都知道的．他的墓碑，原來在土魯斯的奧古斯丁教堂，後來移到當地的博物館；在墓碑上寫著上述的死的日期和死時的年齡：五十七歲．但是，這與通常標出的費爾馬生卒年(1501—1565)相牴觸．事實上，不同的作者對費爾馬的出生年有不同的說法(當然都有其理由)：從1500年到1668年，不等．
學習經歷
費爾馬是一個皮革商的兒子，童年是在家裡受的教育．三十歲，他得到土魯斯地方議會辯護士的職位．在那裡，他謙虛謹慎地乾他的工作．他在當卑微的律師時，把自己大量的業餘時間用於數學研究．雖然他一輩子發表的著作不多，但他和同時代的許多第一流數學家有科學上的通信關係，並且以這種方式給他的同行以相當大的影響．他以那么多的重要貢獻豐富了那么多的數學分支，以致曾被稱作十五世紀法國偉大的業餘數學家．
貢獻
費爾馬的研究趨向
1．如果p是素數，並且a與p互素，則a↗（p-1）-1（a的（p-1）次冪減1）可被p整除．例如，如果p=5，a=2，a↗（p-1）-1=15=(5)(3)．此定理被稱作費爾馬小定理(little Fermat theo-rem)，是費爾馬在1640年10月18日給德貝西(Frenicle de Bessy)的信中給出的，未作證明．歐拉於1736年發表了第一個關於費爾馬小定理的證明。
另一方面，如果p=x2-y2，則p=(x+y)(x-y)．但是，因為p是素數，它只有因數p和1．因此，x+y=p和x-y=1，或x=(p+1)/2和y=(p-1)/2．
3．一個形式為4n+1的素數可以表成兩個平方數之和．例如，5=4+1，13=9+4，17=16+1，29=25+4．此定理是費爾馬在1640年12月25日給梅森的信中最先指出的．歐拉於1754年首先證明了它，並且還證明了這種表達式的唯一性．
4．一個形式為4n+1的素數，作為整數邊直角三角形的斜邊，僅有一次；其平方有兩次；其立方有三次，等等．例如，5=4(1)+1，這時有52=32+42；252=152+202=72+242；1252=752+1002=352+1202=442+1172．
6．整數邊直角三角形的面積不能是一個平方數．這也是後來由拉格朗日證明的．
7．x2+2=y3隻有一個整數解；x2+4=y3隻有兩個整數解．這是向英國數學家們提出的一個競賽題．第一個方程的解是x=5，y=3；第二個方程的解是x=2，y=2和x=11，y=5．
8．不存在正整數x，y，z，使得x^4+y^4=z2．
9．不存在正整數x，y，z，n，使得xn+yn=zn(當n>2時)．這個著名的猜想，稱為費爾馬最後“定理”(Fermat’s last“theorem”)．費爾馬把它寫在丟番圖的梅齊利亞克譯本的手抄本第二卷問題8的旁邊，這個問題是：“分一給定的平方數為兩個平方數．”費爾馬的頁邊評註斷定：“分一立方數為兩個立方數，分一個四次冪(或者一般地，任何次冪)為兩個同次冪，即a的平方加b的平方等於c的平方中a,b,c都沒有整數解，這是不可能的：我確實找到了一個巧妙的證明方法，但是頁邊太窄，寫不下了．”費爾馬是否真有此問題的一個完善的證明，也許將永遠是個謎！從那時起，許多卓越的數學家曾在此問題上試驗他的技巧，但是這一般的猜想，至今仍然期待人們去解決．在別處，費爾馬對n=4的情況給出了一個證明：歐拉給出了一個n=3的情況的證明(後來由別人加以完善)．大約1825年，勒讓德和狄利克雷獨立地對於n=5的情況給出了證明；拉梅於1839年對於n=7證明了此定理．德國數學家庫默爾(E．Kummet．1810—1893)對此問題的研究作了有意義的推進．1843年，庫默爾向狄利克雷提交了一個書面說明，後者指出了其推理中的一個錯誤．庫默爾回過來重新研究它，又過了幾年，日本一位數學家假設，若n大於等於3而小於等於20時,a,b,c沒有整數解。這時在稱作理想數理論(The theory of ideals)的高等代數中發展了一個與之相聯繫的重要課題，為費爾馬關係式的不可解性導出很一般的條件．現在知道：費爾馬的最後“定理”，對於n<125000和許多別的特殊的n值，確實成立．1908年，德國數學家瓦爾夫斯克爾給哥廷根科學院留下十萬馬克，作為這個“定理”的第一個完全證明的獎金．結果，追求名利者提出的證明紛至沓來，並且從那以後，這個問題的業餘愛好者簡直到處都有，就象對於三等分角和化圓為方問題一樣，費爾馬的最後“定理”作為數學問題而享有盛名，原因就在於：對於它，已經發表了許多錯誤證明．
費爾馬的猜想
對於所有非負數n，f(n)=22n+1是素數．這個猜想已被證明是錯誤的；歐拉證明了：f(5)是合數．已知：對於5≤n≤16和n的至少四十七個其它值(也許最大的是n=1945)，f(n)是合數．f(5)，f(6)和f(8)的素因子已找到；f(9)的一個素因子已找到．
費爾馬的發現
1879年，在萊頓的圖書館中，在C．惠更斯手稿中間，發現一篇論文，其中，費爾馬講到一種一般方法——他可能曾用它作出他的許多發現．這方法被稱作費爾馬的無限遞降法(method of infinite descent)對於確立否定的結論很有用．這方法，簡單地說，是這樣的：為了證明與正整數相聯繫的某關係式是不可能的，假定：反過來，該關係式被一些正整數的特定集合滿足．從這假定出發，證明：同樣的關係式對另一較小的正整數的集合成立．於是，再用同方法證明：該關係式對於另一個更小的正整數集合成立，等等以至無窮．因為正整數不能無限減小，所以，開始的假定是站不住腳的，因而，原來的關係式不能成立．為了弄清這b是正整數．
問題
我們已經講過，帕斯卡與費爾馬的通訊關係為機率論奠了基．應該記得：它是從所謂得分問題(problem or the points)開始的：“在兩個被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個中斷的博弈中，如何來確定賭金的劃分，已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數．”費爾馬討論了一個博弈者A需要2分獲勝，另一個博弈者B需要3分獲勝的情況．這是費爾馬對於此種特殊情況的解．因為，顯然最多四次就能決定勝負，令a表示A勝，b表示B勝，考慮a和b兩個字母每次取4個的16種排列：
aaaa aaab abba bbab
baaa bbaa abab babb
abaa baba aabb abbb
aaba baab bbba bbbb
證明方法
a出現等於或多於2次，則A獲勝：有11種情況是這樣的．b出現等於或多於3次，則B獲勝；有5種情況是這樣的．所以，賭金應以11∶5的比例劃分．對於一般情況：A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，我們能寫出a、b兩個字母每次取m+n-1個的2m+n-1種排列．然後，我們找a出現等於或多於m次的α種情況，和b出現等於或多於n次的β種情況．所以，賭金應以α∶β的比例劃分．
帕斯卡利用其“算術三角形”解得分問題，在9．9節中講過．令C(n，r)表示從n件中每次取r件的組合數[參看問題研究9．13(g)]，我們能容易地證明：“算術三角形”的第五條對角線上的數分別為：
C(4，4)=1，C(4，3)=4，C(4，2)=6，C(4，1)=4，C(4，0)=1．
因為，回到上面講的特殊的得分問題，C(4，4)是得4個a的方式數，C(4，3)是得3個a的方式數，等等；由此得出：此問題的解為：
[C(4，4)+C(4，3)+C(4，2)]∶[C(4，1)+C(4，0)]=(1+4+6)∶(4+1)
=11∶5
對於一般情況，A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，我們選擇帕斯卡算術陣的第(m+n)條對角線．然後，我們求此對角線的前n個數的和α和此對角線的最後m個數的和β．於是，賭金應依α∶β的比例劃分．
帕斯卡和費爾馬在他們1654年的有歷史意義的通信中考慮到有關得分問題的其它問題，例如，當博弈者超過兩個時，或兩個博弈者的技巧參差不齊時，賭金該如何劃分．帕斯卡和費爾馬的這個工作開數學機率論之先河．惠更斯(Christiaan Huygens，1629—1695)寫關於機率論的第一篇正式論文，就是以帕斯卡—費爾馬的通信為基礎的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)的《猜測術》(Ars conjectandi)在他死後1713年才出版；這部書是這門學科的最優講述，它包括惠更斯的較早的論文．繼這些先行者之後，促進此學科發展的有：棣莫費爾(De Moivre，1667—1754)，丹尼爾．伯努利(Daniel Bemoul-li，1700—1782)，歐拉(1707—1783)，拉格朗日(1736—1813)，拉普拉斯(1749—1827)，和一大批其他數學家．
機率成為學科
引人入勝並且有些令人驚異的是：數學家們居然有能力發展這樣一門學科(即，數學機率論)，它證明的理性的定律能被套用於純屬機遇的場合．這門學科遠不是不實際的：通過大試驗室中進行的實驗，通過與機率有密切關係的保險公司的存在，並通過大商業和戰爭的推理計算，表明了這一點．
