變號非線性微分方程中的數學問題及其套用研究

《變號非線性微分方程中的數學問題及其套用研究》是依託煙臺大學，由張新光擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：變號非線性微分方程中的數學問題及其套用研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張新光
• 依託單位：煙臺大學

項目摘要

在刻畫現實生活中的許多自然現象時，大量不確定的物理變數、參數以及擾動因素常常會影響到整個系統的穩定性，反映在數學模型上常常轉化為變號非線性微分方程。然而由於變號非線性問題受符號因素的影響，使得處理微分方程的諸多數學方法如定性理論、度理論和半序理論等不能被有效利用，因此對此類問題的研究進展極為緩慢，目前只開展了一些零星的工作。本課題擬套用格理論結合非線性運算元度理論及微分方程定性理論，研究具有半正、擾動、變號的分數階微分方程、分數階對流-彌散方程、含有分數階Pucci極值運算元的偏微分方程以及分數階愛滋病生物數學模型中的數學問題，研究內容主要包括解的存在性、唯一性、多重解、穩定性、衰減性、解對初值連續依賴性、解的分支結構、近似解求法、近似解的誤差估計、構造收斂於解的疊代算法、解在邊界處的漸近行為及解的數值計算和數值仿真。本項目屬非線性微分方程前沿課題，研究內容具有深刻的實際背景和廣泛的應價值。

結題摘要

非線性問題是數學中既有深刻理論意義又有廣泛套用價值的研究學科，其中變號非線性問題由於受符號因素的影響，使得處理微分方程的諸多數學方法如定性理論、度理論和半序理論等不能被有效利用。本課題以數學和自然科學中出現的一些變號非線性問題為背景，通過引進格結構並結合非線性泛函分析方法（半序方法、疊代方法、拓撲方法和變分方法），尋找和研究處理變號非線性問題的一些方法，進而利用並結合非線性泛函分析原有的方法研究非線性運算元方程解的性質，並利用這些性質來研究微分方程和積分方程、偏微分方程解性質，如解的存在唯一性、多解性、穩定性、衰減性、解的結構、解的收斂疊代算法、誤差估計及解在邊界處的漸近行為以及解的數值結果和仿真結果。本課題的主要內容包括：1.代數格結構和微分運算元度計算。2. 分數階變號非線性微分方程模型研究。目前本課題發表論文77篇，被SCIE檢索77篇，其中高被引論文30篇，成果被引用1377次, 他引用1097次（Web of Science，2020年1月14號查）。獲得山東省自然科學三等獎一項（張新光、劉立山、張曉燕、蔣繼強）、山東省突出貢獻的中青年專家一項（張新光），課題組三位主要研究者張新光、劉立山、吳永洪分獲2019年全球高被引學者。張新光教授兼任Curtin University博士生導師並指導畢業博士生（汪洋 Curtin University）一名，劉立山教授指導畢業了4名博士、12名碩士和3名博士後出站。