諾特公式

定義

我們這裡討論代數曲面的諾特公式。 它是經典代數幾何中最著名的陳類 （即陳省身 示性類）公式之一。假設c_1(X) , c_2(X) 是曲面X的第一第二陳類， 那么我們有諾特公式：

c_1^2(X)+c_2(X)=12χ(O_X).

這裡 χ(O_X) 是關於X的結構層O_X的上同調示性類。

幾何解釋

陳類c_2(X) 在這裡可以理解為X的拓撲結構所對應的歐拉示性數。 c_1^2(X) 可以視為典範除子 K_X 的自交數 。 因此諾特公式反映了同調示性類和拓撲示性類之間的深刻關係。

諾特公式和黎曼洛赫定理 以及宮岡-丘不等式的關係密切。 我們可以將此結論推廣到高維代數簇情形。

套用

設f:X→C是纖維化， 那么諾特公式誘導了相對不變數的類似公式。 如果從曲線模空間 的角度看， 這一公式相當於反映了模空間中幾種重要除子 的關係。結合諾特公式和宮岡-丘不等式， 人們可以得到c_1^2(X)≦9χ(O_X). 由此可以得到一般型極小曲面的典範映射的次數上界估計。