解析曲線(analytic curve)是複平面上的基本概念之一。複數平面即是z=a+bi，它對應的坐標為（a,b)。其中，a表示的是複平面內的橫坐標，b表示的是複平面內的縱坐標，表示實數a的點都在x軸上，所以x軸又稱為“實軸”；表示純虛數b的點都在y軸上，所以y軸又稱為“虛軸”。
基本介紹
- 中文名：解析曲線
- 外文名：analytic curve
- 領域：數學
- 學科：複數
- 方程：參數方程
- 對象：冪級數
概念,複平面,參數方程,冪級數,
概念
複平面上的基本概念之一。設曲線γ由參數方程z=z(t)(a≤t≤b)所確定，若對於任意的t0，a≤t0≤b，都存在它的鄰域(t0-δ，t0+δ)，使得γ上與這個小區間對應的一小段(當t0=a或b時，則考慮與[a，a+δ)和(b-δ，b]對應的小段)曲線可用一個收斂冪級數：
複平面
複數平面即是z=a+bi，它對應的坐標為（a,b)。其中，a表示的是複平面內的橫坐標，b表示的是複平面內的縱坐標，表示實數a的點都在x軸上，所以x軸又稱為“實軸”；表示純虛數b的點都在y軸上，所以y軸又稱為“虛軸”。y軸上有且僅有一個實點即為原點"0"。
17世紀時，英國數學家瓦里士已經意識到在直線上不能找到虛數的幾何表示。
1797年，挪威的測量學家維塞爾向丹麥科學院遞交論文《方向的解析表示，特別套用於平面與球面多邊形的測定》，首先提出把複數用坐標平面上的點來表示，使全體複數與平面上的點建立了一一對應關係，形成了複平面概念。但當時沒有受到人們的重視。
1806年，日內瓦的阿工在巴黎發表的論文《虛量，它的幾何解釋》，也談到了複數的幾何表示法。他用“模”這個名詞來表示向量的長度，模這術語就源出於此。
偉大的德國數學家高斯是近代數學的奠基人之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉並列。他在1799年已經知道複數的幾何表示，在1799年、1815年、1816年對代數基本定理作出的三個證明中，都假定了複數和直角坐標平面上的點一一對應，但直到1831年他才對複平面作出詳細的說明。他說：“迄至目前為止，人們對於虛數的考慮，依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念，以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認為只要不把+1、-1、i 叫做正一、負一和虛一，而稱之曰向前一，反向一和側向一，那么這層朦朧而神奇的色彩即可消失。”此後，人們才接受了複平面的思想，有些人還把複平面稱為高斯平面。 利用複數的幾何表示法，複數又可以用坐標平面上的向量來表示，兩個複數相加可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行，一個複數乘以i（或-i）相當於表示此複數的向量逆（或順）時針旋轉90。這就使得物理上的許多向量：力、速度、加速度等等，都可以藉助於複數來進行計算，使複數成為物理學和其他自然科學的重要工具。
參數方程
一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函式：
並且對於t的每一個允許的取值，由方程組確定的點(x, y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數方程，聯繫變數x、y的變數t叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關係的方程叫普通方程。
參數是參變數的簡稱。它是研究運動等一類問題中產生的。質點運動時，它的位置必然與時間有關係，也就是說，質的坐標x，y與時間t之間有函式關係x=f(t)，y=g(t)，這兩個函式式中的變數t，相對於表示質點的幾何位置的變數x，y來說，就是一個“參與的變數”。這類實際問題中的參變數，被抽象到數學中，就成了參數。我們所學的參數方程中的參數，其任務在於溝通變數x，y及一些常量之間的聯繫，為研究曲線的形狀和性質提供方便。
用參數方程描述運動規律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線（例如圓的漸開線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既複雜又不易理解，如圓的漸開線的普通方程。
根據方程畫出曲線十分費時；而利用參數方程把兩個變數x，y間接地聯繫起來，常常比較容易，方程簡單明確，且畫圖也不太困難。
冪級數
冪級數，是數學分析當中重要概念之一，是指在級數的每一項均為與級數項序號n相對應的以常數倍的（x-a）的n次方（n是從0開始計數的整數，a為常數）。冪級數是數學分析中的重要概念，被作為基礎內容套用到了實變函式、複變函數等眾多領域當中。
設
是定義在某區間I上的函式列，則表達式
稱為定義在區間I上函式項級數。
稱作冪級數，其中
為常數，
稱為冪級數的係數。
特別的，當=0時，冪級數式（2）變為
對於定義在區間I上的函式項級數
,取定
,就變成數項級數
數項級數式（4）可能收斂，也可能發散。如果數項級數式（4）是收斂的，稱為函式項級數（1）的收斂點；如果數項級數式（4）是發散的，稱為函式項級數（1）的發散點。函式項級數式（1）的所有收斂點的集合稱為其收斂域，所有發散點的集合稱為其發散域。
對於收斂域上的每一個數x，函式項級數（1）都是一個收斂的常數項級數，因而有一確定的和。因此，在收斂域上函式項級數的和是x的函式，稱為函式項級數的和函式，記作s（x），通常寫成
